Resolver as eq. diferenciais abaixo:
x y-1x^2 y d x-1x y^2 d y=0 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver a equação diferencial x y - 1x^2 y dx - 1x y^2 dy = 0, onde y é função de x. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Assim, identificamos:
M(x,y) = x y - 1x^2 y e N(x,y) = -1x y^2

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma:
M = xy - 1x^2 y = 1x - 1x^2 y
Então,
partial Mpartial y = partialpartial y ( 1x - 1x^2 y ) = 0 + 1x^2 y^2 = 1x^2 y^2
Agora, para N:
N = -1x y^2
E,
partial Npartial x = 1x^2 y^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N
Vamos encontrar essa função F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y) = integral M , dx + h(y)
Onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 5

Integrando M:
M = 1x - 1x^2 y
Então,
integral M , dx = integral ( 1x - 1x^2 y ) dx = ln|x| + 1x y + h(y)
Portanto,
F(x,y) = ln|x| + 1x y + h(y)

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição partial Fpartial y = N para encontrar h(y):
partial Fpartial y = -1x y^2 + h'(y) = N = -1x y^2
Isso implica que:
h'(y) = 0 Rightarrow h(y) = constante

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ln|x| + 1x y = C
onde C é uma constante.

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