Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra resolver a equação diferencial
, onde
é função de
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de
. Assim, identificamos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos calcular cada uma:
Então,
Agora, para
:
E,
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar essa função
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Integrando
:
Então,
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição
para encontrar
:
Isso implica que:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.