Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde $ y = y(x) $. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se precisa de um fator integrante, e em seguida encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se satisfizer
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator integrante.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Vamos supor que o fator integrante $ \mu $ dependa apenas de $ y $.
A condição para $ \mu(y) $ ser fator integrante é:
Substituindo os valores:
Percebemos que essa expressão ainda depende de $ x $, o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa de $ x $.
Passo 4
Assumindo que $ \mu $ depende apenas de $ x $, a condição para $ \mu(x) $ ser fator integrante é:
Substituindo os valores:
Ainda, a expressão depende de $ y $, o que não resolve. Parece que precisamos de outro método. Vamos tentar reescrever a equação para ver se conseguimos separar as variáveis ou encontrar uma solução integrada.
Passo 5
Rearranjando a equação original:
Dividindo ambos os lados por $ dx $:
Isolando
:
Agora, vamos tentar encontrar uma solução substituindo $ y $ por uma função de $ x $.
Passo 6
Vamos considerar uma substituição linear, supondo que a solução tem a forma $ y = u x + v $, onde $ u $ e $ v $ são constantes ou funções de $ x $. Porém, essa abordagem pode ser complexa. Alternativamente, podemos tentar encontrar uma função potencial $ \Phi(x, y) $ tal que:
Integrando $ M(x, y) = x + 2y + 1 $ em relação a $ x $:
Derivando $ \Phi $ em relação a $ y $:
Igualando a $ N(x, y) = -2x + 3 $:
Aqui, percebemos que há uma inconsistência porque $ h’(y) $ deveria depender apenas de $ y $. Isso sugere que a equação pode não ter solução exata fácil e talvez precise de um método mais avançado ou uma reavaliação da abordagem inicial.
Resposta
Após tentar várias abordagens, concluímos que a equação diferencial
não é exata e não conseguimos encontrar um fator integrante simples. Portanto, a solução requer métodos mais avançados ou uma análise adicional para resolver completamente.