Resolver as eq. diferenciais abaixo:
(x+2 y+1) d x-(2 x-3) d y=0 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: (x + 2y + 1) dx - (2x - 3) dy = 0, onde $ y = y(x) $. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se precisa de um fator integrante, e em seguida encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se satisfizer M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 .
Aqui, temos:
partial Mpartial y = partial Npartial x
M(x, y) = x + 2y + 1
Calculando as derivadas parciais:
N(x, y) = -(2x - 3) = -2x + 3
partial Mpartial y = 2
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator integrante.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Vamos supor que o fator integrante $ \mu $ dependa apenas de $ y $.
A condição para $ \mu(y) $ ser fator integrante é:
x
Substituindo os valores:
y
Percebemos que essa expressão ainda depende de $ x $, o que complica. Então, vamos tentar um fator integrante que dependa de $ x $.

Passo 4

Assumindo que $ \mu $ depende apenas de $ x $, a condição para $ \mu(x) $ ser fator integrante é:
mu
Substituindo os valores:
x
Ainda, a expressão depende de $ y $, o que não resolve. Parece que precisamos de outro método. Vamos tentar reescrever a equação para ver se conseguimos separar as variáveis ou encontrar uma solução integrada.

Passo 5

Rearranjando a equação original:
(x + 2y + 1) dx = (2x - 3) dy
Dividindo ambos os lados por $ dx $:
dx
Isolando x + 2y + 1 = (2x - 3) dydx :
dydx
Agora, vamos tentar encontrar uma solução substituindo $ y $ por uma função de $ x $.

Passo 6

Vamos considerar uma substituição linear, supondo que a solução tem a forma $ y = u x + v $, onde $ u $ e $ v $ são constantes ou funções de $ x $. Porém, essa abordagem pode ser complexa. Alternativamente, podemos tentar encontrar uma função potencial $ \Phi(x, y) $ tal que:
y = u x + v
Integrando $ M(x, y) = x + 2y + 1 $ em relação a $ x $:
u
Derivando $ \Phi $ em relação a $ y $:
v
Igualando a $ N(x, y) = -2x + 3 $:
x
Phi(x, y)
Aqui, percebemos que há uma inconsistência porque $ h’(y) $ deveria depender apenas de $ y $. Isso sugere que a equação pode não ter solução exata fácil e talvez precise de um método mais avançado ou uma reavaliação da abordagem inicial.

Resposta

Após tentar várias abordagens, concluímos que a equação diferencial (x + 2y + 1) dx - (2x - 3) dy = 0 não é exata e não conseguimos encontrar um fator integrante simples. Portanto, a solução requer métodos mais avançados ou uma análise adicional para resolver completamente.

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