Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser resolvida para encontrar a função $ y(x) $. A equação que vamos trabalhar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Então, identificamos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como $ -2 \neq 3 $, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que faça com que a equação se torne exata.
Passo 3
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Tentaremos encontrar um fator que depende de $ y $.
A fórmula para o fator integrante $ \mu(y) $ quando tentamos depender de $ y $ é:
Substituindo os valores:
Então,
Mas isso está complicado porque $ x $ ainda está presente. Então, vamos procurar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar:
Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
Da equação original, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
Substituindo na expressão para $ \frac{dv}{dx} $:
Agora, precisamos expressar $ y $ em termos de $ v $ e $ x $. Da substituição $ v = 3x - y + 9 $, temos:
Substituindo na expressão de $ \frac{dv}{dx} $:
Portanto,
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Vamos separar as variáveis para integrar:
Para integrar o lado esquerdo, usamos divisão polinomial:
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 25 para simplificar:
Passo 6
Agora, substituímos $ v $ de volta em termos de $ y $ e $ x $:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Podemos dividir por -5 para simplificar ainda mais:
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde $ C $ é uma constante de integração.