Resolver as eq. diferenciais abaixo:
(3 x-y+9) d y+(6 x-2 y-1) d x=0 y-y(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial que precisa ser resolvida para encontrar a função $ y(x) $. A equação que vamos trabalhar é:
y(x)
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Então, identificamos:
M
Calculamos as derivadas parciais:
y
Como $ -2 \neq 3 $, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que faça com que a equação se torne exata.

Passo 3

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Tentaremos encontrar um fator que depende de $ y $.
A fórmula para o fator integrante $ \mu(y) $ quando tentamos depender de $ y $ é:
x
Substituindo os valores:
y
Então,
y
Mas isso está complicado porque $ x $ ainda está presente. Então, vamos procurar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar:
v = 3x - y + 9
Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Da equação original, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
dvdx = 3 - dydx
Substituindo na expressão para $ \frac{dv}{dx} $:
dydx
Agora, precisamos expressar $ y $ em termos de $ v $ e $ x $. Da substituição $ v = 3x - y + 9 $, temos:
dydx = - 6x - 2y - 13x - y + 9 = - 6x - 2y - 1v
Substituindo na expressão de $ \frac{dv}{dx} $:
dvdx
Portanto,
dvdx = 3 + 6x - 2y - 1v

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
dvdx = 5 - 19v
Vamos separar as variáveis para integrar:
v5v - 19 , dv = dx
Para integrar o lado esquerdo, usamos divisão polinomial:
v5v - 19 = 15 + 195(5v - 19)
Então, a integral fica:
integral ( 15 , dv + 1925 ln |5v - 19| ) = integral dx
Integrando ambos os lados:
15 v + 1925 ln |5v - 19| = x + C
Multiplicando tudo por 25 para simplificar:
5v + 19 ln |5v - 19| = 25x + C

Passo 6

Agora, substituímos $ v $ de volta em termos de $ y $ e $ x $:
v
Substituindo na equação anterior:
y
Simplificando:
x
Rearranjando os termos:
v = 3x - y + 9
Podemos dividir por -5 para simplificar ainda mais:
5(3x - y + 9) + 19 ln |5(3x - y + 9) - 19| = 25x + C
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
2x + y -9 - 195 ln |15x -5y +26| = C
onde $ C $ é uma constante de integração.

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