Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Aqui, a gente vai precisar usar um método chamado separação de variáveis, que ajuda a separar as partes que dependem de $ y $ das que dependem de $ x $. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Vamos dividir cada termo no numerador por $ 3xy $:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para separar os termos de $ y $ e $ x $:
Vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $:
Passo 4
Vamos trazer todos os termos com $ y $ para um lado e os termos com $ x $ para o outro. Para isso, vamos colocar os termos com $ y $ em um lado:
Agora, dividimos ambos os lados por $ y $:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que cada lado só tenha uma variável para facilitar a integração.
A integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Passo 6
Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
E:
Aqui, percebemos que a integração direta é complicada devido à presença de $ y $. Então, vamos reconsiderar o método. Vamos tentar uma substituição.
Passo 7
Vamos usar a substituição $ v = y^{3} $. Então:
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Substituindo na equação original:
Substituindo $ \frac{dv}{dx} = 3 y^{2} \frac{dy}{dx} $:
Mas como $ v = y^{3} $, temos:
Ainda está complicado, então vamos tentar outro método. Vamos observar que a equação é homogênea.
Passo 8
Uma equação é homogênea se podemos escrever $ y = u x $, onde $ u $ é uma função de $ x $. Vamos usar essa substituição.
Se $ y = u x $, então:
Substituindo na equação original:
Passo 9
Agora, temos:
Vamos isolar $ \frac{du}{dx} $:
Dividindo ambos os lados por $ x $:
Passo 10
Agora, separando as variáveis:
Simplificando:
Passo 11
Vamos integrar ambos os lados:
Para a integral da esquerda, fazemos uma substituição:
Seja $ w = 3 u^{2} - 1 $, então $ dw = 6 u du $, ou seja, $ u du = \frac{dw}{6} $.
Então:
E a integral da direita:
Passo 12
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Onde $ C’ = 6C $ é uma constante.
Passo 13
Agora, substituímos $ u = \frac{y}{x} $:
Simplificando:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar $ e^{C’} $ de uma nova constante $ K $:
Passo 14
Isolando $ y^{2} $:
Dividindo por 3:
E tirando a raiz:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.