Resolver as eq. diferenciais abaixo:
y^prime=6 y^2-x^23 x y y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y' = 6 y^2 - x^23 x y
Aqui, a gente vai precisar usar um método chamado separação de variáveis, que ajuda a separar as partes que dependem de $ y $ das que dependem de $ x $. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
dydx = 6 y^2 - x^23 x y
Vamos dividir cada termo no numerador por $ 3xy $:
3xy
Simplificando:
dydx = 6 y^23 x y - x^23 x y

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para separar os termos de $ y $ e $ x $:
y
Vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $:
x

Passo 4

Vamos trazer todos os termos com $ y $ para um lado e os termos com $ x $ para o outro. Para isso, vamos colocar os termos com $ y $ em um lado:
y
Agora, dividimos ambos os lados por $ y $:
x

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é que cada lado só tenha uma variável para facilitar a integração.
A integral do lado esquerdo:
integral ( 1y ) dy + integral ( x3 y^2 ) dx
E a integral do lado direito:
integral 2x dx

Passo 6

Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 1y dy = ln|y|
E:
integral x3 y^2 dx
Aqui, percebemos que a integração direta é complicada devido à presença de $ y $. Então, vamos reconsiderar o método. Vamos tentar uma substituição.

Passo 7

Vamos usar a substituição $ v = y^{3} $. Então:
v = y^3
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
v = y^3
Substituindo na equação original:
x
Substituindo $ \frac{dv}{dx} = 3 y^{2} \frac{dy}{dx} $:
dvdx = 3 y^2 dydx
Mas como $ v = y^{3} $, temos:
dydx = 6 y^2 - x^23 x y
Ainda está complicado, então vamos tentar outro método. Vamos observar que a equação é homogênea.

Passo 8

Uma equação é homogênea se podemos escrever $ y = u x $, onde $ u $ é uma função de $ x $. Vamos usar essa substituição.
Se $ y = u x $, então:
y = u x
Substituindo na equação original:
u

Passo 9

Agora, temos:
u + x dudx = 6 u^2 - 13 u
Vamos isolar $ \frac{du}{dx} $:
dudx
Dividindo ambos os lados por $ x $:
x dudx = 6 u^2 - 13 u - u = 6 u^2 - 1 - 3 u^23 u = 3 u^2 - 13 u

Passo 10

Agora, separando as variáveis:
3 u du3 u^2 - 1 = dxx
Simplificando:
u3 u^2 - 1 du = 1x dx

Passo 11

Vamos integrar ambos os lados:
integral u3 u^2 - 1 du = integral 1x dx
Para a integral da esquerda, fazemos uma substituição:
Seja $ w = 3 u^{2} - 1 $, então $ dw = 6 u du $, ou seja, $ u du = \frac{dw}{6} $.
Então:
w = 3 u^2 - 1
E a integral da direita:
dw = 6 u du

Passo 12

Igualando as integrais:
16 ln|3 u^2 - 1| = ln|x| + C
Multiplicando ambos os lados por 6:
ln|3 u^2 - 1| = 6 ln|x| + C'
Onde $ C’ = 6C $ é uma constante.

Passo 13

Agora, substituímos $ u = \frac{y}{x} $:
u = yx
Simplificando:
ln|3 ( yx )^2 - 1| = 6 ln|x| + C'
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
ln| 3 y^2x^2 - 1 | = 6 ln|x| + C'
Podemos chamar $ e^{C’} $ de uma nova constante $ K $:
| 3 y^2x^2 - 1 | = e^C' x^6

Passo 14

Isolando $ y^{2} $:
y^2
Dividindo por 3:
3 y^2 = K x^8 + x^2
E tirando a raiz:
y^2 = K x^8 + x^23

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = pm raiz K x^8 + x^23
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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