Resolver a EDO: y cdot ln (y) d x+x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você me mandou: . Aqui, estamos lidando com EDOs, que são equações que relacionam uma função desconhecida com suas derivadas. Para resolver, a gente precisa usar algumas técnicas de cálculo, como separar as variáveis e integrar. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada y cdot ln(y) , dx + x , dy = 0 isolada. Isso facilita na hora de integrar. A equação original é:
dydx = -y cdot ln(y)x
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a gente isolou para facilitar o próximo passo.

Passo 3

Agora, o objetivo é separar as variáveis 1y cdot ln(y) , dy = -1x , dx e em lados opostos da equação. Isso significa que todas as expressões com vão ficar de um lado e as com do outro. Vamos fazer isso:
Assim, temos uma parte da equação só com e outra só com .

Passo 4

Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as funções primitivas que correspondem a cada lado. Vamos começar integrando o lado esquerdo:
integral 1y cdot ln(y) , dy
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição útil. Seja integral 1u , du = ln|u| + C = ln|ln(y)| + C , então integral -1x , dx = -ln|x| + C . Substituindo, temos:
Agora, vamos integrar o lado direito:

Passo 5

Após integrar ambos os lados, igualamos os resultados com uma constante ln|ln(y)| = -ln|x| + C :
ln|ln(y)| + ln|x| = C
Podemos simplificar essa expressão juntando os termos:
ln(x cdot ln(y)) = C
Usando propriedades dos logaritmos, essa soma de logaritmos pode ser escrita como:

Passo 6

Para resolver para x cdot ln(y) = e^C , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
x cdot ln(y) = C'
Podemos simplificar ln(y) = C'x como uma nova constante :
Agora, isolamos :

Passo 7

Finalmente, para encontrar y = e^C'x , aplicamos a função exponencial novamente:
y = e^Cx
Como é apenas uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para sem perda de generalidade:

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante arbitrária.

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