Resolver a EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que você me mandou:
. Aqui, estamos lidando com EDOs, que são equações que relacionam uma função desconhecida
com suas derivadas. Para resolver, a gente precisa usar algumas técnicas de cálculo, como separar as variáveis e integrar. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar a derivada
isolada. Isso facilita na hora de integrar. A equação original é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a gente isolou
para facilitar o próximo passo.
Passo 3
Agora, o objetivo é separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Isso significa que todas as expressões com
vão ficar de um lado e as com
do outro. Vamos fazer isso:
Assim, temos uma parte da equação só com
e outra só com
.
Passo 4
Com as variáveis separadas, o próximo passo é integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as funções primitivas que correspondem a cada lado. Vamos começar integrando o lado esquerdo:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição útil. Seja
, então
. Substituindo, temos:
Agora, vamos integrar o lado direito:
Passo 5
Após integrar ambos os lados, igualamos os resultados com uma constante
:
Podemos simplificar essa expressão juntando os termos:
Usando propriedades dos logaritmos, essa soma de logaritmos pode ser escrita como:
Passo 6
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Finalmente, para encontrar
, aplicamos a função exponencial novamente:
Como
é apenas uma constante arbitrária, podemos renomeá-la para
sem perda de generalidade:
Resposta
A solução geral da EDO é
, onde
é uma constante arbitrária.