O que se pede: encontrar a função x(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada. As informações relevantes que temos são exatamente a equação diferencial e a condição inicial acima.
Passo 2
Vamos passar a equação para a forma usual \dfrac{dx}{dt}=\dots. Dividindo ambos os lados por dt e reorganizando, obtemos
Observação sobre domínio: o denominador e^{t}-1 é zero em t=0, então a equação escrita assim não vale em t=0. A condição inicial foi dada em t=1, onde e^{1}-1>0, portanto estamos em um ponto válido.
Passo 3
Colocamos a equação na forma linear padrão
\frac{dx}{dt} + P(t)\,x = Q(t).
Comparando com a equação do passo anterior, identificamos
Explicando o método (mini-aula): uma equação linear de primeira ordem tem essa forma. O truque é multiplicar por um fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Esse fator faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)x(t), o que facilita a integração direta.
Passo 4
Calculemos o fator integrante. Primeiro a primitiva de P(t):
\int P(t)\,dt = \int \frac{e^{t}}{e^{t}-1}\,dt.
Aqui usamos a substituição direta: observe que a derivada de e^{t}-1 é e^{t}, então
\int \frac{e^{t}}{e^{t}-1}\,dt = \ln\!\big|e^{t}-1\big| + C.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(\ln|e^{t}-1|\big)=|e^{t}-1|.
Como estamos interessados numa solução que passe por t=1 (onde e^{1}-1>0), podemos tomar
\mu(t)=e^{t}-1.
Passo 5
Multiplicamos a equação linear por \mu(t)=e^{t}-1. Começando da forma
Multiplicando ambos os lados por e-1 obtemos -1 + C = e-1, então
C = e.
Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
x(t)=\frac{e - t}{e^{t}-1}.
Passo 8
Verificação rápida do domínio e continuidade: a solução encontrada tem denominador e^{t}-1, que é zero em t=0. Portanto a solução é válida para os intervalos onde e^{t}-1\neq 0; em particular é válida em qualquer intervalo que contenha t=1, por exemplo em (0,\infty). Tudo coincide com a condição inicial.