Nos problemas 21-26, resolva o problema de valor inicial.
\left(e^{\prime} x+1\right) d t+\left(e^{\prime}-1\right) d x=0\\\,
x(1)=1\

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial:
\left(e^{t}x+1\right)\,dt+\left(e^{t}-1\right)\,dx=0
e a condição inicial
x(1)=1.
O que se pede: encontrar a função x(t) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial dada. As informações relevantes que temos são exatamente a equação diferencial e a condição inicial acima.

Passo 2

Vamos passar a equação para a forma usual \dfrac{dx}{dt}=\dots. Dividindo ambos os lados por dt e reorganizando, obtemos
\left(e^{t}-1\right)\frac{dx}{dt} + \left(e^{t}x+1\right)=0.
Isolando \dfrac{dx}{dt},
\frac{dx}{dt} = -\frac{e^{t}x+1}{e^{t}-1}.
Observação sobre domínio: o denominador e^{t}-1 é zero em t=0, então a equação escrita assim não vale em t=0. A condição inicial foi dada em t=1, onde e^{1}-1>0, portanto estamos em um ponto válido.

Passo 3

Colocamos a equação na forma linear padrão
\frac{dx}{dt} + P(t)\,x = Q(t).
Comparando com a equação do passo anterior, identificamos
P(t)=\frac{e^{t}}{e^{t}-1},\qquad Q(t)=-\frac{1}{e^{t}-1}.
Explicando o método (mini-aula): uma equação linear de primeira ordem tem essa forma. O truque é multiplicar por um fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
Esse fator faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)x(t), o que facilita a integração direta.

Passo 4

Calculemos o fator integrante. Primeiro a primitiva de P(t):
\int P(t)\,dt = \int \frac{e^{t}}{e^{t}-1}\,dt.
Aqui usamos a substituição direta: observe que a derivada de e^{t}-1 é e^{t}, então
\int \frac{e^{t}}{e^{t}-1}\,dt = \ln\!\big|e^{t}-1\big| + C.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(\ln|e^{t}-1|\big)=|e^{t}-1|.
Como estamos interessados numa solução que passe por t=1 (onde e^{1}-1>0), podemos tomar
\mu(t)=e^{t}-1.

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por \mu(t)=e^{t}-1. Começando da forma
\frac{dx}{dt} + \frac{e^{t}}{e^{t}-1}\,x = -\frac{1}{e^{t}-1},
multiplicando membro a membro por e^{t}-1
(e^{t}-1)\frac{dx}{dt} + e^{t}x = -1.
Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto (e^{t}-1)x, pois pela regra do produto
\frac{d}{dt}\big[(e^{t}-1)x\big] = e^{t}x + (e^{t}-1)\frac{dx}{dt}.
Logo podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dt}\big[(e^{t}-1)x\big] = -1.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big[(e^{t}-1)x\big]\,dt = \int -1\,dt.
Isso dá
(e^{t}-1)x = -t + C,
onde C é constante de integração. Portanto a solução geral é
x(t)=\frac{-t + C}{e^{t}-1}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial x(1)=1. Substituindo t=1 em x(t),
1 = x(1)=\frac{-1 + C}{e^{1}-1} = \frac{-1 + C}{e-1}.
Multiplicando ambos os lados por e-1 obtemos -1 + C = e-1, então
C = e.
Assim a solução particular que satisfaz a condição inicial é
x(t)=\frac{e - t}{e^{t}-1}.

Passo 8

Verificação rápida do domínio e continuidade: a solução encontrada tem denominador e^{t}-1, que é zero em t=0. Portanto a solução é válida para os intervalos onde e^{t}-1\neq 0; em particular é válida em qualquer intervalo que contenha t=1, por exemplo em (0,\infty). Tudo coincide com a condição inicial.

Resposta

x(t)=\frac{e - t}{e^{t}-1}

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