Resolver as eq. diferenciais abaixo:
y^prime=12 x y ln (x) y=y(x)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
y' = 12 x y ln(x) onde y = y(x)
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e um pouco de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. O y' representa a derivada de y em relação a x. Então, temos:
y' = 12 x y ln(x)
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos tentar separar as variáveis y e x. Isso significa colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro lado. Multiplicando ambos os lados da equação por 2 y ln(x), temos:
2 y ln(x) cdot y' = 1x

Passo 4

Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito usando a regra da cadeia. A derivada de y^2 em relação a x é:
ddx(y^2) = 2 y y'
Então, substituindo na nossa equação, fica:
ddx(y^2) cdot ln(x) = 1x

Passo 5

Vamos isolar as derivadas:
ddx(y^2) = 1x ln(x)
Agora, temos uma equação mais simples para integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx(y^2) , dx = integral 1x ln(x) , dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada de y^2 é simplesmente y^2. Do lado direito, vamos resolver a integral de 1x ln(x).

Passo 7

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja u = ln(x), então du = 1x dx. A integral fica:
integral 1u , du = ln|u| + C = ln|ln(x)| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, igualamos as duas integrais:
y^2 = ln|ln(x)| + C
Para encontrar y, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = raizln|ln(x)| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = raizln|ln(x)| + C
Onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados