Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente de equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e um pouco de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação está nos dizendo. O
representa a derivada de
em relação a
. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos tentar separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro lado. Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Passo 4
Agora, percebemos que o lado esquerdo da equação pode ser reescrito usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Então, substituindo na nossa equação, fica:
Passo 5
Vamos isolar as derivadas:
Agora, temos uma equação mais simples para integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de
é simplesmente
. Do lado direito, vamos resolver a integral de
.
Passo 7
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, igualamos as duas integrais:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.