Resolver as eq. diferenciais abaixo:
y^prime=1+x+y^2+x y^2 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’ = 1 + x + y^2 + xy^2 $. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, que é um ramo da matemática que estuda como funções mudam em relação a outra variável, geralmente o tempo ou, nesse caso, $ x $. Para resolver essa equação, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para facilitar a resolução. Olhando para $ y’ = 1 + x + y^2 + xy^2 $, podemos fatorar os termos de $ y^2 $:
y' = 1 + x + y^2 + xy^2
Isso dá:
y^2

Passo 3

Agora, vamos lembrar que $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, podemos reescrever a equação como:
y'
O próximo passo é separar as variáveis $ y $ e $ x $ de cada lado da equação para que possamos integrar.

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por $ (1 + y^2) $ e multiplicar por $ dx $ para separar as variáveis:
(1 + y^2)
Agora, temos uma expressão onde todos os termos de $ y $ estão de um lado e os termos de $ x $ estão do outro.

Passo 5

O próximo passo é integrar ambos os lados dessa equação. Vamos lembrar que:
integral dy1 + y^2 = arctan(y) + C
integral (1 + x) , dx = x + x^22 + C
Então, ao integrar ambos os lados, temos:
arctan(y) = x + x^22 + C

Passo 6

Para encontrar $ y $, vamos aplicar a função tangente em ambos os lados da equação:
y
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece após a integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = tan(x^22 + x + C)
Onde $ C $ é uma constante qualquer.

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