Resolver as eq. diferenciais abaixo:
y^prime=sen(x+y)
y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ y’ = \sin(x + y) $, onde $ y = y(x) $. Esse exercício está na área de equações diferenciais, especificamente lidando com equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável $ z = x + y $. A ideia aqui é transformar a equação em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, derivamos $ z $ em relação a $ x $:
z
Mas sabemos que $ y’ = \sin(z) $, então substituímos:
x

Passo 4

Temos uma nova equação:
dzdx = 1 + sin(z)
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $ dos lados opostos da equação.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
dz1 + sin(z) = dx
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar $ z $ em função de $ x $.

Passo 6

Para integrar o lado esquerdo, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar $ 1 + \sin(z) $. Multiplicamos numerador e denominador por $ 1 - \sin(z) $:
1 + sin(z)
Então, a integral fica:
1 - sin(z)

Passo 7

Agora, separamos a integral:
integral sec^2(z) dz - integral sec(z) tan(z) dz = x + C
Onde $ \sec(z) = \frac{1}{\cos(z)} $ e $ \tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} $.

Passo 8

Calculamos as integrais:
integral sec^2(z) dz = tan(z) + C
integral sec(z) tan(z) dz = sec(z) + C
Substituindo de volta:
tan(z) - sec(z) = x + C

Passo 9

Lembrando que $ z = x + y $, substituímos de volta:
z = x + y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
tan(x + y) - sec(x + y) = x + C

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