Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: $ y’ = \sin(x + y) $, onde $ y = y(x) $. Esse exercício está na área de equações diferenciais, especificamente lidando com equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos definir uma nova variável $ z = x + y $. A ideia aqui é transformar a equação em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, derivamos $ z $ em relação a $ x $:
Mas sabemos que $ y’ = \sin(z) $, então substituímos:
Passo 4
Temos uma nova equação:
Essa é uma equação separável, o que significa que podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $ dos lados opostos da equação.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar os dois lados para encontrar $ z $ em função de $ x $.
Passo 6
Para integrar o lado esquerdo, usamos uma identidade trigonométrica para simplificar $ 1 + \sin(z) $. Multiplicamos numerador e denominador por $ 1 - \sin(z) $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, separamos a integral:
Onde $ \sec(z) = \frac{1}{\cos(z)} $ e $ \tan(z) = \frac{\sin(z)}{\cos(z)} $.
Passo 8
Calculamos as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 9
Lembrando que $ z = x + y $, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: