Resolver as eq. diferenciais abaixo:
(-y x^2+y2 x^2) d y+(1-6 y^2 x) d x=0 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá:
(-y x^2 + y2 x^2) dy + (1 - 6 y^2 x) dx = 0 y=y(x)
Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante. Precisamos lembrar de derivadas parciais e condições de exatidão para seguir os passos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na equação:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial x = -2 y x - yx^3
partial Npartial y = -12 y x

Passo 4

Comparamos as derivadas:
partial Mpartial x = -2 y x - yx^3 e partial Npartial y = -12 y x
Como $ \frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 5

Observando a estrutura da equação, tentamos um fator integrante que depende apenas de $ x $. Vamos assumir $ \mu(x) $ e encontrar uma condição para que a equação se torne exata:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
x
Para que seja exata:
mu(x)

Passo 6

Calculando as derivadas:
ddy [mu(x) M] = mu(x) ( -x^2 + 12 x^2 )
ddx [mu(x) N] = mu'(x) (1 - 6 y^2 x ) + mu(x) ( -6 y^2 )
Igualando e simplificando, encontramos uma condição para $ \mu(x) $. Após resolver, descobrimos que:
mu(x)
Determinar o valor de $ k $ que satisfaz a condição de exatidão leva a $ k = x^{4} $.

Passo 7

Multiplicamos a equação original por $ x^{4} $:
x^4
Simplificando:
x^4 (-y x^2 + y2 x^2) dy + x^4 (1 - 6 y^2 x) dx = 0
Agora, a equação é exata.

Passo 8

Agora que a equação é exata, existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Integrando $ M $ em relação a $ y $:
partial Fpartial y = M e partial Fpartial x = N

Passo 9

Derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ x $ e igualamos a $ N $:
F(x, y)
Igualando os termos:
x
Resolvendo para $ h’(x) $:
N
Integrando:
partial Fpartial x = -3 x^5 y^2 + x2 y^2 + h'(x) = x^4 - 6 y^2 x^5

Passo 10

Finalmente, a solução geral é dada por $ F(x, y) = C $:
F(x, y) = C
Simplificando:
-x^62 y^2 + x^24 y^2 + x^55 - y^2 x^62 - x^2 y^24 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
-3 x^6 y^22 + x^55 = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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