Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante. Precisamos lembrar de derivadas parciais e condições de exatidão para seguir os passos.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na equação:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Comparamos as derivadas:
Como $ \frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 5
Observando a estrutura da equação, tentamos um fator integrante que depende apenas de $ x $. Vamos assumir $ \mu(x) $ e encontrar uma condição para que a equação se torne exata:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(x) $:
Para que seja exata:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Igualando e simplificando, encontramos uma condição para $ \mu(x) $. Após resolver, descobrimos que:
Determinar o valor de $ k $ que satisfaz a condição de exatidão leva a $ k = x^{4} $.
Passo 7
Multiplicamos a equação original por $ x^{4} $:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 8
Agora que a equação é exata, existe uma função $ F(x, y) $ tal que:
Integrando $ M $ em relação a $ y $:
Passo 9
Derivamos $ F(x, y) $ em relação a $ x $ e igualamos a $ N $:
Igualando os termos:
Resolvendo para $ h’(x) $:
Integrando:
Passo 10
Finalmente, a solução geral é dada por $ F(x, y) = C $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é a constante de integração.