Encontre um vetor unitário u na mesma direção do vetor \mathbf{v}.
\mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o vetor coluna
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}
e pede para encontrar um vetor unitário \mathbf{u} que tenha a mesma direção de \mathbf{v}. Ou seja:
  • Dado: \mathbf{v}=\begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar \mathbf{u} tal que \|\mathbf{u}\|=1 e \mathbf{u} esteja na mesma direção de \mathbf{v}.]

Passo 2

Ideia usada (explicada devagar): um vetor na mesma direção de \mathbf{v} é obtido multiplicando \mathbf{v} por um escalar. Para ficar unitário precisamos escolher esse escalar de modo que o comprimento (norma) do resultado seja 1.
  • Definição de norma (comprimento) de um vetor em \mathbb{R}^2: para \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix},
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}.
Aqui v_1 e v_2 são as componentes do vetor (no nosso caso v_1=3 e v_2=5).
  • Fórmula do vetor unitário na mesma direção: se \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, então
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.
Essa fórmula funciona porque dividir cada componente de \mathbf{v} por \|\mathbf{v}\| reduz o comprimento para 1 sem alterar a direção (o fator é positivo).

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{v}. Usando a definição,
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do vetor unitário:
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{34}}\\[6pt]\dfrac{5}{\sqrt{34}}\end{pmatrix}.
Aqui foi dividido cada componente de \mathbf{v} por \sqrt{34}.]

Passo 5

Verificação rápida (mostra que deu certo): calcular a norma de \mathbf{u}.
\|\mathbf{u}\|^2=\left(\dfrac{3}{\sqrt{34}}\right)^2+\left(\dfrac{5}{\sqrt{34}}\right)^2 =\dfrac{9+25}{34}=\dfrac{34}{34}=1,
logo \|\mathbf{u}\|=1. Como o fator \dfrac{1}{\sqrt{34}} é positivo, a direção de \mathbf{u} coincide com a de \mathbf{v}.

Resposta

\mathbf{u}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{34}}\\[6pt]\dfrac{5}{\sqrt{34}}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados