Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário x0=1.
(c) (x^2-2 x-3) y^prime prime+x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
l(x^2-2x-3r)y'' + x,y' + 4y = 0
e pede, sem resolver a equação, o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em x0=1. Vamos usar o fato de que o raio de convergência é limitado pela distância até o singular mais próximo no plano complexo.

Passo 2

Identificamos os pontos singulares como as raízes do coeficiente de y'', ou seja, das soluções de
x^2-2x-3=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática, temos
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
logo as raízes são
x=3 e x=-1

Passo 4

Calculamos a distância de cada singular até o centro x0=1:
|3 - 1| = 2, |-1 - 1| = 2

Passo 5

O raio de convergência de cada série de potências é a menor dessas distâncias, pois é o singular mais próximo que determina o limite de validade da série.

Resposta

O raio mínimo de convergência é 2.

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