Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário
.
(c)
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Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede, sem resolver a equação, o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em
. Vamos usar o fato de que o raio de convergência é limitado pela distância até o singular mais próximo no plano complexo.
Passo 2
Identificamos os pontos singulares como as raízes do coeficiente de
, ou seja, das soluções de
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática, temos
logo as raízes são
Passo 4
Calculamos a distância de cada singular até o centro
:
Passo 5
O raio de convergência de cada série de potências é a menor dessas distâncias, pois é o singular mais próximo que determina o limite de validade da série.
Resposta
O raio mínimo de convergência é
.