Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
d xd t+alpha^2 x=0
Determinar a solução geral para x(t).

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem que foi dada:
d xd t + alpha^2 x = 0
Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação está na forma padrão:
d xd t + P(t) x = Q(t)
Onde, comparando com a nossa equação:
P(t) = alpha^2 e Q(t) = 0
Como $ Q(t) = 0 $, nossa equação é homogênea.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por $ \mu(t) $, é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = \alpha^{2} $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot x $:
e^alpha^2 t cdot d xd t + e^alpha^2 t cdot alpha^2 x = 0

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
t
Isso nos dá:
integral dd t ( e^alpha^2 t cdot x ) , dt = integral 0 , dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para $ x(t) $:
x(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C , e^-alpha^2 t
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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