Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
Determinar a solução geral para
.
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem que foi dada:
Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação está na forma padrão:
Onde, comparando com a nossa equação:
Como $ Q(t) = 0 $, nossa equação é homogênea.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante, geralmente denotado por $ \mu(t) $, é dado por:
Substituindo $ P(t) = \alpha^{2} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t) \cdot x $:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a $ t $:
Isso nos dá:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para $ x(t) $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.