(Simmons pag. 9) Verifique que
(a) y(x)=c1 sen(2 x)+c2 cos (2 x) é solução de y^prime prime+4 y=0.
(b) y(x)=x tg x é solução de x y^prime=y+x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que duas funções são soluções de equações diferenciais: a) uma EDO linear de segunda ordem com coeficiente constante e b) uma EDO de primeira ordem não linear. Para isso vamos precisar calcular derivadas e substituir nas equações.

Passo 2

Para (a), definimos
y(x)=c1sin(2x)+c2cos(2x)
Calculamos a primeira derivada:
y'(x)=2c1cos(2x)-2c2sin(2x)
e a segunda derivada:
y''(x)=-4c1sin(2x)-4c2cos(2x)=-4y(x)
Substituindo em y''+4y=0 temos:
-4y(x)+4y(x)=0,
o que confirma que y(x) satisfaz a equação.

Passo 3

Para (b), definimos
Calculamos a derivada usando o produto e que :
Multiplicando por y(x)=xtg x :
Por outro lado, calculamos
Como ambas as expressões coincidem, temos
(tg x)'=sec^2x
confirmando que é solução.

Passo 4

Concluímos que as duas funções dadas satisfazem exatamente as equações diferenciais propostas, o que prova que são de fato soluções. Por isso, está verificado o que o enunciado pedia.

Resposta

As funções dadas satisfazem suas respectivas equações diferenciais, logo são soluções.

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