Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
x^prime+alpha^2 x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que é tipo uma equação com derivadas. A equação que precisamos resolver é:
x^prime + alpha^2 x = 0
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos aqui. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
x^prime + P(t) x = Q(t)
No nosso caso, $ P(t) = \alpha^{2} $ e $ Q(t) = 0 $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução de equações diferenciais lineares. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = \alpha^{2} $, temos:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^alpha^2 t x^prime + e^alpha^2 t alpha^2 x = 0
Isso simplifica a equação para:
ddt( e^alpha^2 t x ) = 0
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral ddt( e^alpha^2 t x ) dt = integral 0 , dt
Isso resulta em:
e^alpha^2 t x = C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos $ x $ para encontrar a solução geral da equação:
x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C e^-alpha^2 t
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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