Resolver a equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que é tipo uma equação com derivadas. A equação que precisamos resolver é:
Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e métodos de resolução para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos aqui. A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, $ P(t) = \alpha^{2} $ e $ Q(t) = 0 $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução de equações diferenciais lineares. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) = \alpha^{2} $, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos $ x $ para encontrar a solução geral da equação:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.