Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras:
integral tg(z) d z=-ln (cos (z))+C.

Passo 1

Resumo: precisamos verificar se a primitiva de tan(z) é mesmo -ln(cos(z))+C. O conteúdo é encontrar a primitiva de uma função trigonométrica usando substituição.

Passo 2

Reescrever a integral usando identidades trigonométricas: sabemos que tan(z)=dfracsin(z)cos(z), portanto
integral tan(z),dz = integral sin(z)cos(z),dz

Passo 3

Fazer a substituição u=cos(z). Então du=-sin(z),dz, ou seja sin(z),dz=-du. Substituindo na integral:
integral sin(z)cos(z),dz = -integral duu

Passo 4

Integrar e voltar à variável original: temos
-integral duu = -ln|u| + C = -ln|cos(z)| + C
Como o logaritmo com valor absoluto difere apenas na constante de integração, a expressão coincide com -ln(cos(z))+C.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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