Calcule os seguintes limites:
lim x a raizx-raizaraizx^2-a^2 ; a>0

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto araizx-raizaraizx^2-a^2 para a>0. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada 0/0 e vamos usar racionalização e fatoração para resolvê-lo.

Passo 2

Primeiro, note que quando xto a temos numerador e denominador tendendo a zero, caracterizando a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Racionalize o numerador multiplicando e dividindo por raizx+raiza:
raizx-raizaraizx^2-a^2=(raizx-raiza)(raizx+raiza)(raizx+raiza)raizx^2-a^2=x-a(raizx+raiza)raizx^2-a^2

Passo 4

Fatore x^2-a^2=(x-a)(x+a) dentro da raiz do denominador e simplifique:
x-a(raizx+raiza)raiz(x-a)(x+a)=x-a(raizx+raiza)raizx-araizx+a=raizx-a(raizx+raiza)raizx+a

Passo 5

Agora faça xto a. O numerador raizx-ato0 e o denominador tende a (raiza+raiza)raiza+a=2raizaraiz2a=2araiz2. Logo o limite vale zero.

Resposta

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