Determinar o raio de convergencia da série de potências
sumn=0^infty (n^2+1)(x-1)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
sumn=0^infty (n^2+1)(x-1)^nn!
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série. Isso é importante porque nos diz para quais valores de $ x $ a série vai somar a um valor finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma:
sumn=0^infty an (x - c)^n
O raio de convergência $ R $ é dado por:
R
Se o limite existir. Então, vamos identificar $ a_n $ na nossa série.

Passo 3

Na nossa série, temos:
an = n^2 + 1n!
E queremos encontrar:
limn to infty | anan+1 |
Vamos calcular essa razão.

Passo 4

Vamos substituir $ a_n $ e $ a_{n+1} $:
an
Simplificando $ n! $ e $ (n+1)! $:
an+1

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
n^2 + 1(n+1)^2 + 1 cdot (n+1) = n^2 + 1n^2 + 2n + 2 cdot (n+1)
Vamos dividir o numerador e o denominador por $ n^2 $:
n^2

Passo 6

À medida que $ n $ tende ao infinito, os termos com $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n^{2}} $ vão para zero. Assim, a expressão simplifica para:
n

Passo 7

Então, o limite fica:
limn to infty anan+1 = infty
Isso significa que o raio de convergência $ R = \infty $.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, ou seja, $ R = +\infty $.

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