Determinar o raio de convergencia da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
Nosso objetivo é determinar o raio de convergência dessa série. Isso é importante porque nos diz para quais valores de $ x $ a série vai somar a um valor finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma:
O raio de convergência $ R $ é dado por:
Se o limite existir. Então, vamos identificar $ a_n $ na nossa série.
Passo 3
Na nossa série, temos:
E queremos encontrar:
Vamos calcular essa razão.
Passo 4
Vamos substituir $ a_n $ e $ a_{n+1} $:
Simplificando $ n! $ e $ (n+1)! $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Vamos dividir o numerador e o denominador por $ n^2 $:
Passo 6
À medida que $ n $ tende ao infinito, os termos com $ \frac{1}{n} $ e $ \frac{1}{n^{2}} $ vão para zero. Assim, a expressão simplifica para:
Passo 7
Então, o limite fica:
Isso significa que o raio de convergência $ R = \infty $.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, ou seja, $ R = +\infty $.