Resolver a equação homogênea:
Dica: Substituição y = vx
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e sugere a substituição
. O que se pede é encontrar a solução geral
da equação. As informações relevantes que temos são:
- A equação é dada para
em que a expressão faz sentido (ou seja, se necessário). - Há a dica de usar
, ou seja, definir .
Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Aplicar a substituição
. Primeiro, escrevo a definição e calculo a derivada
usando a regra do produto (porque
):
Derivando em relação a
:
Explicação rápida do produto: se
, então
. Aqui
e
, então
e
, resultando em
.
Passo 3
Substituir
e
na equação original. A parte direita pode ser simplificada antes:
Logo a equação original torna-se
Passo 4
Isolar
. Faço as operações algébricas:
Observação importante: ao passar para a forma separável vou dividir por
, então preciso considerar a possibilidade
separadamente. Se
então
, o que significa
. Verifico se
é solução da equação original:
portanto
é de fato uma solução particular (solução constante em
). Agora resolvo o caso
.
Passo 5
Resolver a equação separável para
quando
. Escrevo:
Separando variáveis:
Aqui estou colocando todos os termos com
no lado esquerdo e todos os termos com
no lado direito — essa é a técnica de separação de variáveis.
Passo 6
Integrar ambos os lados. Integro em
e em
:
A integral à esquerda é
(porque a derivada de
é
), e a da direita é
. Assim:
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Chamo a constante positiva
de
, e permitindo que a constante absorva sinal (isto é, tomando uma constante arbitrária
), escrevo de forma mais simples
onde
é uma constante arbitrária real (note que a solução
já foi tratada separadamente, e aparece como caso limite quando
).
Passo 7
Voltar à variável original
. Lembro que
. Assim, a relação
vira
Multiplicando por
e isolando
:
Esta é a família de soluções gerais (com
constante arbitrária). Como já verificado, para
obtém-se a solução particular
.