Resolver a equação homogênea:
y^{\prime}=\frac{2 x+3 y}{x}
Dica: Substituição y = vx

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y'=\frac{2x+3y}{x}
e sugere a substituição y=vx. O que se pede é encontrar a solução geral y(x) da equação. As informações relevantes que temos são:
  • A equação é dada para x em que a expressão faz sentido (ou seja, x\neq0 se necessário).
  • Há a dica de usar y=vx, ou seja, definir v(x)=\dfrac{y(x)}{x}.
    Não vou resolver nada aqui ainda — só organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Aplicar a substituição y=vx. Primeiro, escrevo a definição e calculo a derivada y' usando a regra do produto (porque y(x)=v(x)\cdot x):
y=vx.
Derivando em relação a x:
y'=\frac{d}{dx}(v x)=v+\!x\frac{dv}{dx}.
Explicação rápida do produto: se y(x)=u(x)w(x), então y'=u'w+uw'. Aqui u=v(x) e w=x, então u'=v' e w'=1, resultando em y'=v+xv'.

Passo 3

Substituir y e y' na equação original. A parte direita pode ser simplificada antes:
\frac{2x+3y}{x}=2+\frac{3y}{x}=2+3v.
Logo a equação original torna-se
v+x\frac{dv}{dx}=2+3v.

Passo 4

Isolar \dfrac{dv}{dx}. Faço as operações algébricas:
v+x\frac{dv}{dx}=2+3v
x\frac{dv}{dx}=2+3v-v=2+2v
\frac{dv}{dx}=\frac{2+2v}{x}=2\frac{1+v}{x}.
Observação importante: ao passar para a forma separável vou dividir por 1+v, então preciso considerar a possibilidade 1+v=0 separadamente. Se 1+v=0 então v=-1, o que significa y=vx=-x. Verifico se y=-x é solução da equação original:
y'=-1,\qquad \frac{2x+3y}{x}=\frac{2x+3(-x)}{x}=\frac{2x-3x}{x}=-1,
portanto y=-x é de fato uma solução particular (solução constante em v). Agora resolvo o caso 1+v\neq0.

Passo 5

Resolver a equação separável para v quando 1+v\neq0. Escrevo:
\frac{dv}{dx}=2\frac{1+v}{x}.
Separando variáveis:
\frac{dv}{1+v}=2\frac{dx}{x}.
Aqui estou colocando todos os termos com v no lado esquerdo e todos os termos com x no lado direito — essa é a técnica de separação de variáveis.

Passo 6

Integrar ambos os lados. Integro em v e em x:
\int\frac{dv}{1+v}=\int 2\frac{dx}{x}.
A integral à esquerda é \ln|1+v| (porque a derivada de 1+v é 1), e a da direita é 2\ln|x|+C. Assim:
\ln|1+v|=2\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|1+v|=e^{C}|x|^{2}.
Chamo a constante positiva e^{C} de C_1>0, e permitindo que a constante absorva sinal (isto é, tomando uma constante arbitrária C\in\mathbb{R}), escrevo de forma mais simples
1+v=Cx^{2},
onde C é uma constante arbitrária real (note que a solução v=-1 já foi tratada separadamente, e aparece como caso limite quando C=0).

Passo 7

Voltar à variável original y. Lembro que v=\dfrac{y}{x}. Assim, a relação 1+v=Cx^{2} vira
1+\frac{y}{x}=Cx^{2}.
Multiplicando por x e isolando y:
x+y=Cx^{3}
y=Cx^{3}-x.
Esta é a família de soluções gerais (com C constante arbitrária). Como já verificado, para C=0 obtém-se a solução particular y=-x.

Resposta

y=Cx^{3}-x,\qquad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados