Resolver a equação linear:
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação (ou seja, todas as funções
que satisfazem a igualdade para todo
). Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - O termo com
é a derivada de em relação a . - O coeficiente de
é a constante . - O termo independente (lado direito) é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão
Aqui é direto identificar
Essa forma é útil porque existe uma técnica padronizada (fácil de aplicar) para resolver equações assim.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Ideia (intuição): multiplicando a equação por uma função
escolhidamente, o lado esquerdo passa a ser a derivada de
. Para encontrar
exigimos que
Isto implica que
deve satisfazer
, ou seja
Integrando, obtemos a fórmula padrão do fator integrante:
Aqui vou explicar cada símbolo:
-
é o fator integrante que vamos calcular. -
é o coeficiente de na forma padrão. -
é a função exponencial natural.
Passo 4
Calcular
para este caso: como
,
(uma constante multiplicativa irrelevante no fator integrante pode ser tomada como
sem perda de generalidade).
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo modo que escolhemos
, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Portanto a equação fica
Passo 6
Agora integra-se ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda é simplesmente
. À direita:
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 7
Assim obtemos
Isolando
dividindo por
,
Aqui
é a constante arbitrária que representa a família de soluções.
Passo 8
Breve comentário pedagógico: outra abordagem possível é tentar uma solução particular do tipo
(método dos coeficientes indeterminados), porque o lado direito é
. Fazendo isso,
Igualando a
vem
, logo
e
. A solução geral é então
, onde
é solução da homogênea
, que é
. Isso dá a mesma resposta encontrada acima, como deve acontecer.
Passo 9
Verificação rápida (importante na prova): derivando a solução geral
temos
Então
portanto satisfaz a equação inicial para todo
, confirmando que a solução está correta.