Resolver a equação linear:
y^{\prime}+2 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^{\prime}+2 y=e^{x}
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, todas as funções y que satisfazem a igualdade para todo x). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • O termo com y^{\prime} é a derivada de y em relação a x.
  • O coeficiente de y é a constante 2.
  • O termo independente (lado direito) é \,e^{x}\,.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x).
Aqui é direto identificar
p(x)=2,\qquad q(x)=e^{x}.
Essa forma é útil porque existe uma técnica padronizada (fácil de aplicar) para resolver equações assim.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Ideia (intuição): multiplicando a equação por uma função \mu(x) escolhidamente, o lado esquerdo passa a ser a derivada de \mu(x)y(x). Para encontrar \mu exigimos que
(\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu' y=\mu\bigl(y^{\prime}+p(x)y\bigr).
Isto implica que \mu' deve satisfazer \mu'=\mu p(x), ou seja
\frac{\mu'}{\mu}=p(x).
Integrando, obtemos a fórmula padrão do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr).
Aqui vou explicar cada símbolo:
  • \mu(x) é o fator integrante que vamos calcular.
  • p(x) é o coeficiente de y na forma padrão.
  • \exp é a função exponencial natural.

Passo 4

Calcular \mu(x) para este caso: como p(x)=2,
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int 2\,dx\Bigr)=\exp(2x)=e^{2x}.
(uma constante multiplicativa irrelevante no fator integrante pode ser tomada como 1 sem perda de generalidade).

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}y^{\prime}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{x}=e^{3x}.
Pelo modo que escolhemos \mu, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\bigl(e^{2x}y\bigr)^{\prime}=e^{2x}y^{\prime}+2e^{2x}y.
Portanto a equação fica
\bigl(e^{2x}y\bigr)^{\prime}=e^{3x}.

Passo 6

Agora integra-se ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{2x}y\bigr)^{\prime}\,dx=\int e^{3x}\,dx.
A integral à esquerda é simplesmente e^{2x}y. À direita:
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 7

Assim obtemos
e^{2x}y=\frac{1}{3}e^{3x}+C.
Isolando y dividindo por e^{2x},
y=\frac{1}{3}e^{3x}e^{-2x}+C e^{-2x}=\frac{1}{3}e^{x}+C e^{-2x}.
Aqui C é a constante arbitrária que representa a família de soluções.

Passo 8

Breve comentário pedagógico: outra abordagem possível é tentar uma solução particular do tipo y_p=A e^{x} (método dos coeficientes indeterminados), porque o lado direito é e^{x}. Fazendo isso,
y_p'=A e^{x},\qquad y_p'+2y_p=(A+2A)e^{x}=3A e^{x}.
Igualando a e^{x} vem 3A=1, logo A=\tfrac{1}{3} e y_p=\tfrac{1}{3}e^{x}. A solução geral é então y=y_p+y_h, onde y_h é solução da homogênea y'+2y=0, que é y_h=C e^{-2x}. Isso dá a mesma resposta encontrada acima, como deve acontecer.

Passo 9

Verificação rápida (importante na prova): derivando a solução geral
y=\frac{1}{3}e^{x}+C e^{-2x}
temos
y'=\frac{1}{3}e^{x}-2C e^{-2x}.
Então
y'+2y=\Bigl(\frac{1}{3}e^{x}-2C e^{-2x}\Bigr)+2\Bigl(\frac{1}{3}e^{x}+C e^{-2x}\Bigr) =\frac{1}{3}e^{x}+\frac{2}{3}e^{x}=e^{x},
portanto satisfaz a equação inicial para todo x, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}e^{x}+C e^{-2x}

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