Resolver a equação
usando o método da iteração linear
com
. Mostre as 8 primeiras iterações e estime o erro.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se resolver a equação
usando a iteração linear com a condição inicial . - As tarefas específicas: mostrar as 8 primeiras iterações
e estimar o erro da aproximação obtida. - Dados que vamos usar explicitamente: a fórmula de iteração
e o valor inicial .
Passo 2
Ideia do método e justificativa (explicação didática, passo a passo):
- Estamos a procurar uma solução de
. Isso é equivalente a procurar um ponto fixo da função isto é, um tal que . - O método dado é a iteração de ponto fixo
A ideia é: se for uma contração numa vizinhança do ponto fixo (ou num intervalo que contenha a sequência), então a sequência converge para o ponto fixo. - Para verificar contração usamos a derivada de
. A derivada é Então, em qualquer intervalo em que , teremos e é uma contração com constante . - Como começamos em
e as iterações com permanecem no intervalo (pois para ), podemos tomar o máximo de nesse intervalo. Para temos Então podemos escolher a constante de contração que satisfaz . Portanto é uma contração em e a iteração converge para o único ponto fixo nessa região. - Estimativas de erro úteis (essas fórmulas são padrão para iteração de ponto fixo quando
é contração com constante ): - A desigualdade entre diferenças consecutivas:
Essa vem de aplicar . - A partir daí obtemos um limite para a distância ao ponto fixo:
(Derivação rápida: escreva e use desigualdades recursivas; a forma clássica é e daí resolver para .) - Outra forma (mais global, porém geralmente mais frouxa) é
Essa vem de aplicar repetidamente a contração e somar a série geométrica.
- A desigualdade entre diferenças consecutivas:
- Em resumo: sabemos que a iteração converge (porque
) e podemos estimar o erro usando as desigualdades acima. Agora vamos executar as iterações concretas e aplicar as estimativas.
Passo 3
Cálculo das 8 primeiras iterações (vou mostrar cada iteração substituindo na fórmula
; os valores numéricos estão arredondados para 16 casas decimais quando necessário):
(Comentário amigo: dá para ver um “vai e vem” que vai se acalmando — típico de ponto fixo quando
é negativo em torno da raiz.)
Passo 4
Cálculo das diferenças sucessivas e uso da estimativa prática do erro:
- Diferenças
:
-
Observação: essas diferenças diminuem aproximadamente na razão
, o que confirma o comportamento de contração. -
Agora aplicamos a estimativa prática de erro (mais usada em provas): paraSubstituindo
e , obtemos e portantoOu seja, pelo critério baseado nas diferenças consecutivas, a aproximaçãoestá a no máximo cerca de unidades do ponto fixo — essa é uma estimativa garantida, mas conservadora. -
A estimativa teórica global (mais frouxa) dáCom
e , obtemos um limite ainda maior (da ordem de ), portanto inútil na prática aqui — é esperado: estas estimativas globais costumam ser pessimistas quando é relativamente próximo de .
Passo 5
Cálculo do erro real aproximado (para referência e autoconfiança):
-
O ponto fixo verdadeiro (pode ser obtido por mais iterações ou por métodos numéricos) é aproximadamente
-
Então o erro real da aproximação
é Isso mostra que, embora as estimativas garantidas fossem conservadoras (), o erro real já é bem menor ( ) após 8 iterações. -
Observação final e incentivo: a sequência converge relativamente rápido para o valor que é conhecido como a constante de Dottie (aprox.
). Se você precisar de uma precisão melhor na prova, basta continuar a iteração mais algumas vezes; cada iteração costuma reduzir a diferença por um fator aproximado de .
Resposta
Estimativa do erro (bound prático usando diferenças consecutivas):
.
Erro real aproximado (referência): com
.
Erro real aproximado (referência):