Resolver a equação
x=\cos x
usando o método da iteração linear
x_{n+1}=\cos x_{n}
com x_{0}=1. Mostre as 8 primeiras iterações e estime o erro.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se resolver a equação \,x=\cos x\, usando a iteração linear x_{n+1}=\cos x_{n}com a condição inicial \,x_{0}=1.
  • As tarefas específicas: mostrar as 8 primeiras iterações \,x_{0},x_{1},\dots,x_{8}\, e estimar o erro da aproximação obtida.
  • Dados que vamos usar explicitamente: a fórmula de iteração \,x_{n+1}=\cos x_{n}\, e o valor inicial \,x_{0}=1.

Passo 2

Ideia do método e justificativa (explicação didática, passo a passo):
  • Estamos a procurar uma solução de \,x=\cos x\,. Isso é equivalente a procurar um ponto fixo x^{*} da função g(x)=\cos x,isto é, um x^{*} tal que g(x^{*})=x^{*}.
  • O método dado é a iteração de ponto fixo x_{n+1}=g(x_{n})=\cos x_{n}.A ideia é: se g for uma contração numa vizinhança do ponto fixo (ou num intervalo que contenha a sequência), então a sequência converge para o ponto fixo.
  • Para verificar contração usamos a derivada de g. A derivada é g'(x) = -\sin x.Então, em qualquer intervalo em que |\sin x|\le k<1, teremos |g'(x)|\le k<1 e g é uma contração com constante k.
  • Como começamos em \,x_{0}=1\, e as iterações com g(x)=\cos x permanecem no intervalo [0,1] (pois \cos x\in[0,1] para x\in[0,1]), podemos tomar o máximo de |g'| nesse intervalo. Para x\in[0,1] temos |g'(x)|=|\sin x|\le \sin 1.Então podemos escolher a constante de contração k=\sin 1\approx 0,8414709848,que satisfaz 0\le k<1. Portanto g é uma contração em [0,1] e a iteração converge para o único ponto fixo x^{*} nessa região.
  • Estimativas de erro úteis (essas fórmulas são padrão para iteração de ponto fixo quando g é contração com constante k):
    1. A desigualdade entre diferenças consecutivas: |x_{n+1}-x_{n}|\le k\,|x_{n}-x_{n-1}|.Essa vem de aplicar |g(x)-g(y)|\le k|x-y|.
    2. A partir daí obtemos um limite para a distância ao ponto fixo: |x_{n}-x^{*}|\le \frac{k}{1-k}\,|x_{n}-x_{n-1}|.(Derivação rápida: escreva x_n-x^{*}=(x_n-x_{n-1})+(x_{n-1}-x^{*}) e use desigualdades recursivas; a forma clássica é |x_n-x^{*}|\le |x_n-x_{n-1}|+k|x_{n-1}-x^{*}| e daí resolver para |x_n-x^{*}|.)
    3. Outra forma (mais global, porém geralmente mais frouxa) é |x_{n}-x^{*}|\le \frac{k^{n}}{1-k}\,|x_{1}-x_{0}|.Essa vem de aplicar repetidamente a contração e somar a série geométrica.
  • Em resumo: sabemos que a iteração converge (porque k=\sin 1<1) e podemos estimar o erro usando as desigualdades acima. Agora vamos executar as iterações concretas e aplicar as estimativas.

Passo 3

Cálculo das 8 primeiras iterações (vou mostrar cada iteração substituindo na fórmula \,x_{n+1}=\cos x_{n}\,; os valores numéricos estão arredondados para 16 casas decimais quando necessário):
x_{0}=1
x_{1}=\cos x_{0}=\cos 1 \approx 0,5403023058681398
x_{2}=\cos x_{1}=\cos(0,5403023058681398)\approx 0,8575532158463934
x_{3}=\cos x_{2}=\cos(0,8575532158463934)\approx 0,6542897904977791
x_{4}=\cos x_{3}=\cos(0,6542897904977791)\approx 0,7934803587425656
x_{5}=\cos x_{4}=\cos(0,7934803587425656)\approx 0,7013687736227565
x_{6}=\cos x_{5}=\cos(0,7013687736227565)\approx 0,7639596829006542
x_{7}=\cos x_{6}=\cos(0,7639596829006542)\approx 0,7221024250267077
x_{8}=\cos x_{7}=\cos(0,7221024250267077)\approx 0,7504177617637605
(Comentário amigo: dá para ver um “vai e vem” que vai se acalmando — típico de ponto fixo quando g'(x) é negativo em torno da raiz.)

Passo 4

Cálculo das diferenças sucessivas e uso da estimativa prática do erro:
  • Diferenças |x_{n+1}-x_{n}|:
|x_{1}-x_{0}| \approx |0,5403023058681398-1| = 0,4596976941318602
|x_{2}-x_{1}| \approx |0,8575532158463934-0,5403023058681398| = 0,3172509099782536
|x_{3}-x_{2}| \approx |0,6542897904977791-0,8575532158463934| = 0,2032634253486143
|x_{4}-x_{3}| \approx 0,1391905682447865
|x_{5}-x_{4}| \approx 0,0921115851198091
|x_{6}-x_{5}| \approx 0,0625909092778977
|x_{7}-x_{6}| \approx 0,0418572578739465
|x_{8}-x_{7}| \approx 0,0283153367370528
  • Observação: essas diferenças diminuem aproximadamente na razão k\approx 0,8414709848, o que confirma o comportamento de contração.
  • Agora aplicamos a estimativa prática de erro (mais usada em provas): para n=8
    |x_{8}-x^{*}|\le \frac{k}{1-k}\,|x_{8}-x_{7}|.
    Substituindo k=\sin 1\approx 0,8414709848 e |x_{8}-x_{7}|\approx 0,0283153367370528, obtemos
    \frac{k}{1-k}\approx \frac{0,8414709848}{1-0,8414709848} \approx 5,307\quad\text{(aprox.)}
    e portanto
    |x_{8}-x^{*}|\le 5,307\cdot 0,0283153367370528 \approx 0,1502.
    Ou seja, pelo critério baseado nas diferenças consecutivas, a aproximação x_{8} está a no máximo cerca de 0,1502 unidades do ponto fixo — essa é uma estimativa garantida, mas conservadora.
  • A estimativa teórica global (mais frouxa) dá
    |x_{8}-x^{*}|\le \frac{k^{8}}{1-k}\,|x_{1}-x_{0}|.
    Com k^{8}\approx 0,2509 e |x_{1}-x_{0}|\approx 0,4596976941, obtemos um limite ainda maior (da ordem de 0,73), portanto inútil na prática aqui — é esperado: estas estimativas globais costumam ser pessimistas quando k é relativamente próximo de 1.

Passo 5

Cálculo do erro real aproximado (para referência e autoconfiança):
  • O ponto fixo verdadeiro (pode ser obtido por mais iterações ou por métodos numéricos) é aproximadamente
    x^{*}\approx 0,7390851332151607.
  • Então o erro real da aproximação x_{8} é
    |x_{8}-x^{*}|\approx |0,7504177617637605-0,7390851332151607|\approx 0,0113326285485998.
    Isso mostra que, embora as estimativas garantidas fossem conservadoras ( \approx 0,15), o erro real já é bem menor ( \approx 0,0113) após 8 iterações.
  • Observação final e incentivo: a sequência converge relativamente rápido para o valor que é conhecido como a constante de Dottie (aprox. 0,739085). Se você precisar de uma precisão melhor na prova, basta continuar a iteração mais algumas vezes; cada iteração costuma reduzir a diferença por um fator aproximado de k.

Resposta

x_{0}=1
x_{1}\approx 0,5403023058681398
x_{2}\approx 0,8575532158463934
x_{3}\approx 0,6542897904977791
x_{4}\approx 0,7934803587425656
x_{5}\approx 0,7013687736227565
x_{6}\approx 0,7639596829006542
x_{7}\approx 0,7221024250267077
x_{8}\approx 0,7504177617637605
Estimativa do erro (bound prático usando diferenças consecutivas): |x_{8}-x^{*}|\le 0,1502.
Erro real aproximado (referência): |x_{8}-x^{*}|\approx 0,0113326285485998 com x^{*}\approx 0,7390851332151607.

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