Resolver as equações de Bernoulli:
d y'/d x + 3 y = 5 y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente chama de Equação de Bernoulli. A equação que temos é . Para resolver isso, vamos precisar usar um método específico para equações não lineares que envolvem potências de . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral . No nosso caso:

Passo 3

O próximo passo é fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear. A gente escolhe . Então, aqui .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso significa que podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na equação original:
Mas como , temos (mantém-se), então:

Passo 6

Agora, isolamos :
Dividimos ambos os lados por :
Multiplicando por -3:
Mas como , substituímos:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Multiplicamos por para resolver para :

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados