Determine se 
  é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função 
  tal que 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o campo vetorial 
  é conservativo. Se for, temos que encontrar uma função 
  tal que 
 .
Matéria envolvida: Campos vetoriais conservativos e gradiente de uma função escalar.
O que vamos precisar: Saber como verificar se um campo vetorial é conservativo e, se for o caso, calcular a função potencial 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial 
  é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar 
 , ou seja, 
 . Isso significa que o campo não “gira” e que o trabalho realizado por 
  ao longo de um caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Para verificar se 
  é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as componentes de 
 :
Agora, vamos calcular as derivadas parciais cruzadas:
Primeira derivada parcial:
Segunda derivada parcial:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Como 
  (a menos que 
 , mas queremos que a igualdade valha para todo 
  e 
 ), concluímos que as derivadas parciais cruzadas não são iguais.
Passo 5
Como as derivadas parciais cruzadas não são iguais, isso significa que o campo vetorial 
  não é conservativo. Portanto, não existe uma função 
  tal que 
 .
Resposta
O campo vetorial 
  não é conservativo.