Resolver as equações de Bernoulli:
e y' - 2 y = 4 y^{-1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é . A matéria que estamos usando aqui é a de equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação numa forma mais fácil de resolver usando substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da equação de Bernoulli. A equação geral de Bernoulli tem a forma:
No nosso caso, comparando com a equação dada , temos:

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para simplificar a equação. Usamos a substituição . Como , então:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia:
Queremos expressar em termos de . Da equação original, isolamos :

Passo 5

Substituímos na expressão de :
Como , substituímos:

Passo 6

Agora temos uma equação linear em :
Para resolver, encontramos o fator integrante. O fator integrante é:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvemos para :
Lembrando que , então:

Passo 10

Finalmente, isolamos tomando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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