Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a divergência (Div) e o rotacional (Rot) do campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente as fórmulas para a divergência e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor em relação à sua própria variável e somar os resultados.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada:
-
Primeira componente (
): Derivando em relação a: (A derivada deem relação a é zero porque e são tratadas como constantes em relação a .) -
Segunda componente (
): Derivando em relação a: (A derivada dee de em relação a é zero.) -
Terceira componente (
): Derivando em relação a: (As derivadas dee em relação a são zero.)
Passo 4
Agora, somamos todas as derivadas que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é o Rot. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Isso envolve calcular algumas derivadas parciais cruzadas entre as componentes.
Passo 6
Vamos calcular cada componente do rotacional:
-
Primeira componente:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Portanto: -
-
Segunda componente:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Portanto: -
-
Terceira componente:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Portanto: -
Resposta
A divergência e o rotacional do campo vetorial
são:
e