Considere o campo vetorial
F(x, y, z) = (1/x + y*z, x*z + z*exp(y) + 1, x*y + exp(y) - 2*z)
(a) Calcule Div(F) e Rot(F);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a divergência (Div) e o rotacional (Rot) do campo vetorial dado:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente as fórmulas para a divergência e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso significa que vamos derivar cada componente do vetor em relação à sua própria variável e somar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada:
  1. Primeira componente ( ):
    Derivando em relação a x:
    (A derivada de y z em relação a x é zero porque y e z são tratadas como constantes em relação a x.)
  2. Segunda componente ( ):
    Derivando em relação a y:
    (A derivada de x z e de 1 em relação a y é zero.)
  3. Terceira componente ( ):
    Derivando em relação a z:
    (As derivadas de x y e e^y em relação a z são zero.)

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de F, que é o Rot. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Isso envolve calcular algumas derivadas parciais cruzadas entre as componentes.

Passo 6

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
    • Calculando :
    • Calculando :
    Portanto:
  2. Segunda componente:
    • Calculando :
    • Calculando :
    Portanto:
  3. Terceira componente:
    • Calculando :
    • Calculando :
    Portanto:

Resposta

A divergência e o rotacional do campo vetorial F são:
e

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