Resolver as equações diferenciais:
(x+1) d yd x+y=ln x, y(l)=10

Passo 1

Resumo do enunciado: resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem (x+1) tfracdydx + y = ln x com condição inicial y(1)=10. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocar em forma padrão dividindo por x+1:
dydx + 1x+1,y = ln xx+1
Isso mostra que mu(x) vem de integral tfrac1x+1,dx.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
mu(x) = exp!l(integral 1x+1,dxr) = exp(ln|x+1|) = x+1

Passo 4

Multiplicar a equação original por mu(x)=x+1 para obter
(x+1)dydx + y = ln x,
que é exatamente tfracddx[(x+1)y] = ln x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx[(x+1)y],dx = integral ln x ,dx
(x+1)y = xln x - x + C

Passo 6

Expressar y e aplicar y(1)=10:
y = xln x - x + Cx+1
Para x=1 temos tfrac1cdot0 -1 + C2 = 10, então C=21.

Resposta

y = xln x - x + 21x+1

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