Resolver as equações diferenciais:
d yd x=y^2 e^-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem \ dydx = y^2 e^-x. Esse tipo de equação é separável, ou seja, dá para colocar todos os termos em y de um lado e em x do outro antes de integrar.

Passo 2

Vamos separar as variáveis. Dividindo ambos os lados por y^2 e multiplicando por dx, obtemos
1y^2,dy = e^-x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral y^-2,dy, e do direito integral e^-x,dx:
integral 1y^2,dy = integral e^-x,dx
Calculando as integrais:
integral y^-2,dy = -1y + C1,
integral e^-x,dx = -e^-x + C2

Passo 4

Igualando as duas expressões e juntando as constantes C1 e C2 numa só C, temos
-1y = -e^-x + C
Multiplicando por -1) e definindo C' = -C, fica:
1y = e^-x + C'

Passo 5

Para terminar, isolamos y:
y = 1e^-x + C'
Aqui C' é a constante geral de integração.

Passo 6

Podemos reescrever a solução de forma equivalente, por exemplo definindo K = C' ou K = e^-x0/y(x0), mas o formato essencialmente é
$$
y(x) = \frac{1}{e^{-x} + C}\n$$

Resposta

y(x) = 1e^-x + C, onde C é a constante de integração.

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