Resolver as equações diferenciais:
y d yd x-x=2 y^2, y(l)=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
y dydx - x = 2y^2, y(l) = 5
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial não linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis ou métodos adequados para esse tipo de equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem y dydx = x + 2y^2 . Começamos adicionando dydx = xy + 2y em ambos os lados:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Essa equação ainda está um pouco complicada para resolver diretamente. Vamos tentar simplificar usando uma substituição. Observe que a equação pode ser reescrita como:
dydx = xy + 2y = x + 2y^2y
Vamos fazer a substituição . Assim, .

Passo 4

Substituindo dvdx = 2y dydx na equação derivada:
dydx = x + 2y^2y = x + 2vy
Da equação anterior, sabemos que:
dvdx = 2y cdot x + 2vy = 2(x + 2v) = 2x + 4v
Substituindo isso na expressão para dvdx = 2x + 4v :
Então, temos a equação:

Passo 5

Agora, a equação ficou linear em termos de dvdx - 4v = 2x :
mu(x) = e^integral -4 , dx = e^-4x
Para resolver essa equação linear, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-4x dvdx - 4e^-4xv = 2x e^-4x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto ddx ( e^-4x v ) = 2x e^-4x :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx ( e^-4x v ) dx = integral 2x e^-4x dx :
e^-4x v = integral 2x e^-4x dx + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
  • integral 2x e^-4x dx = -2x4 e^-4x + 24 integral e^-4x dx = -x2 e^-4x - 18 e^-4x + C \quad então
  • \quad então
Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
e^-4x v = -x2 e^-4x - 18 e^-4x + C
Multiplicando ambos os lados por v = -x2 - 18 + C e^4x para isolar y^2 = -x2 - 18 + C e^4x :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial 5^2 = -l2 - 18 + C e^4l para encontrar a constante 25 = -l2 - 18 + C e^4l . Substituindo C = 25 + l2 + 18e^4l e :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial dada, satisfazendo a condição inicial y = raiz -x2 - 18 + ( 25 + l2 + 18e^4l ) e^4x , é:

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