Resolver as equações diferenciais.
g) y^{\prime}+\frac{2 y}{x}=\frac{\cos x}{x^{2}}\, para \(y(\pi)=0.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\cos x}{x^{2}}
com condição inicial y(\pi)=0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculemos o fator integrante \mu(x) a partir de
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr).
Como \int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| = \ln(x^{2}), temos
\mu(x) = e^{\ln(x^{2})} = x^{2}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por x^{2}, obtemos
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x.
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{2}y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = x^{2}y' + 2x\,y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = \cos x \quad\Longrightarrow\quad x^{2}y = \int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, fica
y(x) = \frac{\sin x + C}{x^{2}}.
Agora aplicamos a condição y(\pi)=0:
0 = y(\pi) = \frac{\sin\pi + C}{\pi^{2}} = \frac{0 + C}{\pi^{2}} \quad\Longrightarrow\quad C = 0.

Passo 6

Portanto, a solução particular que satisfaz y(\pi)=0 é
y(x) = \frac{\sin x}{x^{2}}.

Resposta

y(x) = \frac{\sin x}{x^{2}}.

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