Resolver as equações diferenciais.
c) \left(x^{2}+y\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx - x\,dy = 0.
Este é um caso de equação de primeira ordem que podemos colocar na forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e isolando dy/dx, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+y}{x} = x + \frac{y}{x}.
Reorganizando para o formato padrão de equação linear:
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}\,y = x.

Passo 3

Nesta forma, o coeficiente de y é P(x) = -\tfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln|x|\bigr) = x^{-1}.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu(x)=x^{-1}, fica
\frac{1}{x}\,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}}\,y = 1.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \tfrac{y}{x}, ou seja,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = 1.

Passo 5

Integramos em relação a x:
\frac{y}{x} = \int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente, isolamos y:

Resposta

y = x^{2} + Cx.

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