Resolver as equações diferenciais.
b) \left(3 x+y^{2}\right) d x-2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial (3 x + y^{2})\,dx - 2 x y\,dy = 0. Trata-se de uma equação de forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 que não é exata inicialmente; vamos buscar um fator integrante em função de x.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=-2y.
Como 2y \neq -2y, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante \mu(x) satisfazendo
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{2y - (-2y)}{-2xy} = -\frac{2}{x}.
Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr)=x^{-2}.
Multiplicando a equação original por x^{-2} obtemos
\Bigl(\tfrac{3}{x} + \tfrac{y^2}{x^2}\Bigr)dx -2\tfrac{y}{x}dy =0,
que agora é exata.

Passo 4

Para a equação exata definimos
M^*=\frac{3}{x}+\frac{y^2}{x^2}, \quad N^*=-2\frac{y}{x}.
Procuramos \varphi(x,y) tal que \partial\varphi/\partial x=M^*. Integramos em x:
\varphi(x,y) =\int\Bigl(\frac{3}{x}+\frac{y^2}{x^2}\Bigr)dx =3\ln|x|-\frac{y^2}{x}+h(y).
Em seguida,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =-\frac{2y}{x}+h'(y)
deve ser igual a N^*=-2y/x, o que implica h'(y)=0.

Passo 5

Assim a solução implícita é
\varphi(x,y)=3\ln|x|-\frac{y^2}{x}=C.

Resposta

3\ln|x|-\frac{y^2}{x}=C.

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