Resolver as equações diferenciais em potência de e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potência em e descobrir o raio de convergência da solução. A equação que temos é:
Isso envolve conceitos de séries de potência e métodos de solução de equações diferenciais ordinárias.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a solução como uma série de potência em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de . Vamos derivar termo a termo:
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham o mesmo expoente de . Para o termo com :
Fazendo a substituição :
Passo 6
Agora, todos os termos estão ajustados para . Coletamos os termos para igualar aos do lado direito da equação:
Vamos reindexar o terceiro somatório para que todas as séries tenham :
Passo 7
Agora, combinamos todas as séries:
Observamos que o lado direito só possui termos para . Para igualar as séries, os coeficientes dos mesmos poderes de devem ser iguais.
Passo 8
Igualamos os coeficientes para cada :
Para :
Assumindo que (já que índices negativos não fazem sentido aqui).
Para :
Para :
Passo 9
Resolvemos as relações de recorrência:
Sabemos que e são constantes arbitrárias. Vamos supor e .
Para :
E para :
Passo 10
Para determinar o raio de convergência , usamos o critério da razão. Observamos que os coeficientes estão relacionados pelas relações de recorrência que envolvem fatores que, para grandes , se comportam como:
Aplicando o critério da razão, temos:
Isso implica que a série converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A solução da equação diferencial em série de potência é:
y = a0 + a1 x + x^2 + ( 1 - 2a03 ) x^3 + cdots
O raio de convergência da série é , ou seja, a solução converge para todo .