Resolver as equações diferenciais em potência de x e determine seu raio de convergência.
y^prime prime-2 x^2 y^prime+4 x y=x^2+2 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potência em y'' - 2x^2y' + 4xy = x^2 + 2x + 2 e descobrir o raio de convergência da solução. A equação que temos é:
Isso envolve conceitos de séries de potência e métodos de solução de equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a solução y = sumn=0^infty an x^n como uma série de potência em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y' = sumn=1^infty n an x^n-1 = sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n . Vamos derivar termo a termo:
y'' = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n

Passo 4

Substituímos sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 2x^2 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n + 4x sumn=0^infty an x^n = x^2 + 2x + 2 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham o mesmo expoente de -2x^2 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n = -2 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n+2 . Para o termo com -2 summ=2^infty (m-1) am-1 x^m :
Fazendo a substituição :

Passo 6

Agora, todos os termos estão ajustados para sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 2 sumn=2^infty (n-1) an-1 x^n + 4 sumn=0^infty an x^n+1 = x^2 + 2x + 2 . Coletamos os termos para igualar aos do lado direito da equação:
4 sumn=0^infty an x^n+1 = 4 sumn=1^infty an-1 x^n
Vamos reindexar o terceiro somatório para que todas as séries tenham :

Passo 7

Agora, combinamos todas as séries:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - 2(n-1) an-1 + 4 an-1 ] x^n = x^2 + 2x + 2
Observamos que o lado direito só possui termos para . Para igualar as séries, os coeficientes dos mesmos poderes de devem ser iguais.

Passo 8

Igualamos os coeficientes para cada (0+2)(0+1) a2 - 2(-1) a-1 + 4 a-1 = 2a2 = 2 Rightarrow a2 = 1 :
Para (1+2)(1+1) a3 - 2(0) a0 + 4 a0 = 6a3 + 4a0 = 2 :
(n+2)(n+1) an+2 - 2(n-1) an-1 + 4 an-1 = 0 Rightarrow an+2 = 2(n-1) - 4(n+2)(n+1) an-1
Assumindo que (já que índices negativos não fazem sentido aqui).
Para :
Para :

Passo 9

Resolvemos as relações de recorrência:
Sabemos que 6a3 + 4C = 2 Rightarrow a3 = 2 - 4C6 = 1 - 2C3 e an+2 = 2(n-1) - 4(n+2)(n+1) an-1 = 2n - 6(n+2)(n+1) an-1 são constantes arbitrárias. Vamos supor e .
Para :
E para :

Passo 10

Para determinar o raio de convergência an sim 2nn^2 an-2 sim 2n an-2 , usamos o critério da razão. Observamos que os coeficientes limn to infty | an+2an | = limn to infty | 2n - 6(n+2)(n+1) | = 0 estão relacionados pelas relações de recorrência que envolvem fatores que, para grandes , se comportam como:
Aplicando o critério da razão, temos:
Isso implica que a série converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A solução da equação diferencial em série de potência é:
y = a0 + a1 x + x^2 + ( 1 - 2a03 ) x^3 + cdots
O raio de convergência da série é , ou seja, a solução converge para todo .

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