Resolver as equações diferenciais em potência de x e determine seu raio de convergência.
y^prime prime-x^2 y^prime-y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem na forma de potência de y'' - x^2 y' - y = 0 :
Vamos resolver essa equação usando séries de potência e descobrir qual é o raio de convergência da solução. Basicamente, vamos escrever como uma soma infinita de potências de e encontrar os coeficientes dessa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) = sumn=0^infty an x^n pode ser escrita como uma série de potência:
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1 :
A primeira derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituindo sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - x^2 sumn=1^infty n an x^n-1 - sumn=0^infty an x^n = 0 , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todos os termos tenham sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n . Isso facilita comparar os coeficientes de cada potência de x^2 y' = sumn=1^infty n an x^n+1 = sumn=0^infty (n-1) an-1 x^n .
Para a segunda derivada, substituímos por :
Para o termo com , substituímos por :

Passo 6

Agora, reescrevendo a equação com os novos índices:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - sumn=0^infty n an x^n - sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 7

Podemos combinar os termos que têm sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - (n +1) an ] x^n = 0 :
(n+2)(n+1) an+2 - (n +1) an = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , cada coeficiente dentro dos colchetes deve ser zero:

Passo 8

Resolvendo para an+2 = (n+1)(n+2)(n+1) an = 1n+2 an :
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos ajuda a encontrar os coeficientes em termos dos anteriores.

Passo 9

Com essa relação de recorrência, podemos encontrar os termos pares e ímpares separadamente.
Vamos começar assumindo uma solução par (onde os termos com potências ímpares de são zero) e outra solução ímpar (onde os termos com potências pares de são zero).

Passo 10

Solução Par:
Assumimos a2 = 12 a0 a4 = 14 a2 = 14 cdot 2 a0 a6 = 16 a4 = 16 cdot 4 cdot 2 a0 vdots (uma constante) e a2k = a0(2k)! .
Aplicando a relação de recorrência:
Em geral:

Passo 11

Portanto, a solução par fica:
ypar(x) = a0 sumk=0^infty x^2k(2k)! = a0 cosh(x)

Passo 12

Solução Ímpar:
Assumimos a3 = 13 a1 a5 = 15 a3 = 15 cdot 3 a1 a7 = 17 a5 = 17 cdot 5 cdot 3 a1 vdots e a2k+1 = a1(2k+1)! (outra constante).
Aplicando a relação de recorrência:
Em geral:

Passo 13

Portanto, a solução ímpar fica:
yímpar(x) = a1 sumk=0^infty x^2k+1(2k+1)! = a1 sinh(x) í

Passo 14

A solução geral é a soma das soluções par e ímpar:
y(x) = A cosh(x) + B sinh(x)
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 15

Quanto ao raio de convergência, sabemos que as séries de e convergem para todo real. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = A cosh(x) + B sinh(x)
com um raio de convergência igual a infinito.

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