Resolver as equações diferenciais em potência de
e determine seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem na forma de potência de
:
Vamos resolver essa equação usando séries de potência e descobrir qual é o raio de convergência da solução. Basicamente, vamos escrever
como uma soma infinita de potências de
e encontrar os coeficientes dessa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potência:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todos os termos tenham
. Isso facilita comparar os coeficientes de cada potência de
.
Para a segunda derivada, substituímos
por
:
Para o termo com
, substituímos
por
:
Passo 6
Agora, reescrevendo a equação com os novos índices:
Passo 7
Podemos combinar os termos que têm
:
Para que essa equação seja verdadeira para todo
, cada coeficiente dentro dos colchetes deve ser zero:
Passo 8
Resolvendo para
:
Essa é a nossa relação de recorrência, que nos ajuda a encontrar os coeficientes
em termos dos anteriores.
Passo 9
Com essa relação de recorrência, podemos encontrar os termos pares e ímpares separadamente.
Vamos começar assumindo uma solução par (onde os termos com potências ímpares de
são zero) e outra solução ímpar (onde os termos com potências pares de
são zero).
Passo 10
Solução Par:
Assumimos
(uma constante) e
.
Aplicando a relação de recorrência:
Em geral:
Passo 11
Portanto, a solução par fica:
Passo 12
Solução Ímpar:
Assumimos
e
(outra constante).
Aplicando a relação de recorrência:
Em geral:
Passo 13
Portanto, a solução ímpar fica:
Passo 14
A solução geral é a soma das soluções par e ímpar:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 15
Quanto ao raio de convergência, sabemos que as séries de
e
convergem para todo
real. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
com um raio de convergência igual a infinito.