Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(l)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral iterada . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, podemos precisar mudar a ordem de integração, ou seja, trocar de para e vice-versa. Vamos dar uma olhada em como fazer isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso forma uma área triangular no plano , onde e .
Passo 3
Agora, vamos desenhar mentalmente essa região. No eixo , vamos de 0 a 1, e para cada , começa em e vai até 1. Isso significa que se invertermos a ordem de integração, vai de 0 a 1, e para cada , vai de 0 até .
Passo 4
Com essa troca, a integral fica: . Note que agora a integral interna é em relação a , mas o integrando não depende de , então podemos simplificar.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna . Como é constante em relação a , a integral é simplesmente .
Passo 6
Agora, a integral dupla se reduz a uma única integral: . Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição.
Passo 7
Vamos fazer a substituição . Então, ou . Substituindo na integral, temos: