Calcule as seguintes integrais iteradas. Se necessário inverta a ordem de integração.
(l) integral0^1 integralx^1 sin y^2 d y d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral iterada integral0^1 integralx^1 sin y^2 , dy , dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, podemos precisar mudar a ordem de integração, ou seja, trocar de dx para dy e vice-versa. Vamos dar uma olhada em como fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos x variando de 0 a 1 e, para cada x, y varia de x até 1. Isso forma uma área triangular no plano xy, onde y >= x e 0 <= x <= 1.

Passo 3

Agora, vamos desenhar mentalmente essa região. No eixo x, vamos de 0 a 1, e para cada x, y começa em x e vai até 1. Isso significa que se invertermos a ordem de integração, y vai de 0 a 1, e para cada y, x vai de 0 até y.

Passo 4

Com essa troca, a integral fica: integral0^1 integral0^y sin y^2 , dx , dy. Note que agora a integral interna é em relação a x, mas o integrando sin y^2 não depende de x, então podemos simplificar.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna integral0^y sin y^2 , dx. Como sin y^2 é constante em relação a x, a integral é simplesmente sin y^2 times (y - 0) = y sin y^2.

Passo 6

Agora, a integral dupla se reduz a uma única integral: integral0^1 y sin y^2 , dy. Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição u = y^2. Então, du = 2y , dy ou du2 = y , dy. Substituindo na integral, temos:
integral0^1 y sin y^2 , dy = 12 integral0^1 sin u , du

Passo 8

Agora, vamos integrar sin u em relação a u:
12 integral0^1 sin u , du = 12 ( -cos u ) |0^1 = 12 ( -cos 1 + cos 0 )

Passo 9

Sabemos que cos 0 = 1, então substituindo:
12 ( -cos 1 + 1 ) = 12 (1 - cos 1)

Resposta

A integral dada vale 12 (1 - cos 1).

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