Resolver as equações diferenciais de segunda ordem
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede que a gente resolva (ou seja, encontre a solução geral
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear e não homogênea (pois o lado direito é
). - A incógnita é a função
. - Precisamos encontrar a solução geral que contém duas constantes arbitrárias (por ser 2ª ordem).
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”). Escrevemos
Para resolver, usamos a ideia padrão: procurar soluções da forma
, onde
é uma constante a determinar. Substituindo nessa equação homogênea obtemos a equação característica:
Esta é uma equação algébrica em
. Vou resolver passo a passo: fatoramos o polinômio
portanto as raízes são
e
.
Passo 3
Cada raiz distinta
da equação característica gera uma solução independente
. Como as raízes são
e
, as soluções fundamentais são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação didática: a razão de procurar
é que derivar
só multiplica por
, transformando a ODE em um polinômio em
.)
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (método simples e prático quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos). A regra é: como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
onde
é uma constante a determinar, desde que
não seja solução da homogênea. Como as soluções da homogênea são
e
, o expoente
não coincide com nenhuma raiz
da característica (que são
e
). Logo a forma
é apropriada.
Passo 5
Calculemos as derivadas de
e substituamos na equação para achar
:
Substituindo em
obtemos
Fatorando
(que nunca é zero), temos
Cancelando
nos dois lados dá
Passo 6
Portanto uma solução particular é
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).
Passo 7
Observação útil para a prova (por isso explico): se o lado direito fosse
com
igual a uma raiz simples da característica, por exemplo
aqui, então a tentativa
seria solução da homogênea e não serviria. Nesse caso multiplicamos por
e tentamos
. Se
fosse raiz de multiplicidade
, multiplicaríamos por
. Isso é bom decorar para não errar na hora.