Resolver as equações diferenciais de segunda ordem
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{4 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-y'=e^{4x}
e pede que a gente resolva (ou seja, encontre a solução geral y(x)).
Informações relevantes fornecidas:
  1. A equação é linear e não homogênea (pois o lado direito é e^{4x}).
  2. A incógnita é a função y(x).
  3. Precisamos encontrar a solução geral que contém duas constantes arbitrárias (por ser 2ª ordem).

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (a parte “sem o lado direito”). Escrevemos
y''-y'=0.
Para resolver, usamos a ideia padrão: procurar soluções da forma y=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Substituindo nessa equação homogênea obtemos a equação característica:
r^2-r=0.
Esta é uma equação algébrica em r. Vou resolver passo a passo: fatoramos o polinômio
r^2-r = r(r-1)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=1.

Passo 3

Cada raiz distinta r da equação característica gera uma solução independente e^{rx}. Como as raízes são 0 e 1, as soluções fundamentais são e^{0x}=1 e e^{1x}=e^{x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot 1 + C_2 e^{x} = C_1 + C_2 e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Breve explicação didática: a razão de procurar e^{rx} é que derivar e^{rx} só multiplica por r, transformando a ODE em um polinômio em r.)

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''-y'=e^{4x}.
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (método simples e prático quando o lado direito é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos). A regra é: como o lado direito é e^{4x}, tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=A e^{4x},
onde A é uma constante a determinar, desde que e^{4x} não seja solução da homogênea. Como as soluções da homogênea são 1 e e^{x}, o expoente 4 não coincide com nenhuma raiz r da característica (que são 0 e 1). Logo a forma A e^{4x} é apropriada.

Passo 5

Calculemos as derivadas de y_p e substituamos na equação para achar A:
y_p(x)=A e^{4x},
y_p'(x)=4A e^{4x},
y_p''(x)=16A e^{4x}.
Substituindo em y''-y'=e^{4x} obtemos
16A e^{4x} - 4A e^{4x} = e^{4x}.
Fatorando e^{4x} (que nunca é zero), temos
(16A-4A)e^{4x} = 12A e^{4x} = e^{4x}.
Cancelando e^{4x} nos dois lados dá
12A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{12}.

Passo 6

Portanto uma solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{12}e^{4x}.
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{x} + \frac{1}{12}e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Passo 7

Observação útil para a prova (por isso explico): se o lado direito fosse e^{rx} com r igual a uma raiz simples da característica, por exemplo r=1 aqui, então a tentativa A e^{rx} seria solução da homogênea e não serviria. Nesse caso multiplicamos por x e tentamos y_p=Ax e^{rx}. Se r fosse raiz de multiplicidade m, multiplicaríamos por x^m. Isso é bom decorar para não errar na hora.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{x} + \dfrac{1}{12}e^{4x}

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