Resolver as equações diferenciais de segunda ordem
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede para encontrar todas as soluções (a solução geral). Informações relevantes que temos:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - Precisamos achar a solução geral
, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, colocando o lado direito igual a zero):
Método: procuramos soluções do tipo
. Substituindo nessa equação obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação algébrica para
. Isso é simples:
então
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da homogênea é
Aplicando aqui:
onde
e
são constantes arbitrárias (surgem por integrações).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vou usar o método dos coeficientes não determinados. A ideia desse método é: quando o lado direito é uma função simples como
, polinômio ou sen/cos (ou produto deles), nós “chutamos” uma forma parecida para
com constantes desconhecidas e determinamos essas constantes substituindo na equação.
Aqui o lado direito é
. Então tentamos uma solução particular da forma
onde
é uma constante a determinar. Antes de seguir, precisamos checar se há ressonância: se
fosse uma raiz da equação característica (ou seja, se
fosse solução de
), teríamos que multiplicar por
(ou por uma potência de
). Mas as raízes da característica são
e
, não
. Logo não há ressonância e a escolha
é válida.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituímos na equação para resolver
.
Derivadas:
Substituindo em
obtemos:
Fatorando
:
Ou seja
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
e ficar com a equação para
:
Assim
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 6
Pequena verificação (pra você confiar no resultado): se derivarmos
duas vezes e calcularmos
obtemos
o que confirma que
funciona bem.
Passo 7
Dica prática para a prova (rapidinho e útil): quando o lado direito for
e
NÃO for raiz da característica, chute
. Se
for raiz simples da característica, chute
. Se for raiz dupla, chute
. Isso salva tempo e evita erro por ressonância. Força aí — você consegue!