Resolver as equações diferenciais de segunda ordem
y^{\prime \prime}-16 y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-16y=e^{3x}
e pede para encontrar todas as soluções (a solução geral). Informações relevantes que temos:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \,e^{3x}.
  • Precisamos achar a solução geral y(x), que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, colocando o lado direito igual a zero):
y''-16y=0.
Método: procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo nessa equação obtemos a equação característica:
r^2-16=0.
Agora resolvemos essa equação algébrica para r. Isso é simples: r^2=16 então
r=4\quad\text{ou}\quad r=-4.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Aplicando aqui:
y_h=C_1 e^{4x}+C_2 e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (surgem por integrações).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''-16y=e^{3x}.
Vou usar o método dos coeficientes não determinados. A ideia desse método é: quando o lado direito é uma função simples como e^{\alpha x}, polinômio ou sen/cos (ou produto deles), nós “chutamos” uma forma parecida para y_p com constantes desconhecidas e determinamos essas constantes substituindo na equação.
Aqui o lado direito é \,e^{3x}. Então tentamos uma solução particular da forma
y_p=A e^{3x},
onde A é uma constante a determinar. Antes de seguir, precisamos checar se há ressonância: se 3 fosse uma raiz da equação característica (ou seja, se r=3 fosse solução de r^2-16=0), teríamos que multiplicar por x (ou por uma potência de x). Mas as raízes da característica são 4 e -4, não 3. Logo não há ressonância e a escolha y_p=A e^{3x} é válida.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p e substituímos na equação para resolver A.
Derivadas:
y_p'=3A e^{3x},
y_p''=9A e^{3x}.
Substituindo em \,y''-16y=e^{3x} obtemos:
(9A e^{3x}) - 16(A e^{3x}) = e^{3x}.
Fatorando e^{3x}:
(9A-16A)e^{3x} = e^{3x}.
Ou seja
-7A\, e^{3x} = e^{3x}.
Como e^{3x} nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por e^{3x} e ficar com a equação para A:
-7A = 1.
Assim
A = -\frac{1}{7}.
Portanto a solução particular é
y_p = -\frac{1}{7} e^{3x}.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x)=y_h+y_p = C_1 e^{4x}+C_2 e^{-4x}-\frac{1}{7} e^{3x},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 6

Pequena verificação (pra você confiar no resultado): se derivarmos y_p=-\dfrac{1}{7}e^{3x} duas vezes e calcularmos y_p''-16y_p obtemos
y_p''-16y_p = \left(9\cdot\left(-\tfrac{1}{7}\right)-16\cdot\left(-\tfrac{1}{7}\right)\right)e^{3x} = (-9/7+16/7)e^{3x}=(7/7)e^{3x}=e^{3x},
o que confirma que y_p funciona bem.

Passo 7

Dica prática para a prova (rapidinho e útil): quando o lado direito for e^{\alpha x} e \alpha NÃO for raiz da característica, chute A e^{\alpha x}. Se \alpha for raiz simples da característica, chute A x e^{\alpha x}. Se for raiz dupla, chute A x^2 e^{\alpha x}. Isso salva tempo e evita erro por ressonância. Força aí — você consegue!

Resposta

y(x)=C_1 e^{4x}+C_2 e^{-4x}-\frac{1}{7}e^{3x}

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