Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções: e^{t} \operatorname{sen} 4 t, e^{t} \cos 5 t.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções e^{t}\sin 4t e e^{t}\cos 5t.\n
Informações dadas: \;y_{1}(t)=e^{t}\sin 4t e \;y_{2}(t)=e^{t}\cos 5t.\n
Pergunta: calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(t), que é uma função de t.
Passo 2
O que é o Wronskiano para duas funções? Vou explicar devagarinho. \n
Por definição, para duas funções \;y_{1}(t) e \;y_{2}(t) o Wronskiano é
Aqui cada apóstrofo indica derivada em relação a t. Vai ser preciso então calcular y_{1}'(t) e y_{2}'(t).\n
Lembrete rápido sobre derivadas que vamos usar: para u(t)=e^{t} tem u'(t)=e^{t}. Para \sin(kt) a derivada é k\cos(kt). Para \cos(kt) a derivada é -k\sin(kt). Se uma função é produto u(t)v(t) usamos a regra do produto:
(uv)'=u'v+uv'.]
Passo 3
Calcular y_{1}'(t) passo a passo usando regra do produto para y_{1}(t)=e^{t}\sin 4t.\n
Derivada de e^{t} é e^{t}. Derivada de \sin 4t é 4\cos 4t. Aplicando:
Observe que \sin 4t\cos 5t aparece com sinal positivo e negativo e se cancelam. Então sobra
W = e^{2t}\Bigl[-5\sin 4t\sin 5t - 4\cos 4t\cos 5t\Bigr].
Podemos deixar assim ou transformar a combinação trigonométrica em algo mais explícito usando identidades produto-para-soma. Vou mostrar isso porque fica elegante: \n
Identidades úteis:
Portanto a combinação anterior vale \tfrac{1}{2}(9\cos t-\cos 9t). Lembre que isto depende de t (ou seja, não é constante em geral); aqui usamos \cos(4t-5t)=\cos(-t)=\cos t.\n
Voltando ao Wronskiano, temos então