Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
e^{t} \operatorname{sen} 4 t, e^{t} \cos 5 t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano do par de funções e^{t}\sin 4t e e^{t}\cos 5t.\n
Informações dadas: \;y_{1}(t)=e^{t}\sin 4t e \;y_{2}(t)=e^{t}\cos 5t.\n
Pergunta: calcular o Wronskiano W(y_{1},y_{2})(t), que é uma função de t.

Passo 2

O que é o Wronskiano para duas funções? Vou explicar devagarinho. \n
Por definição, para duas funções \;y_{1}(t) e \;y_{2}(t) o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(t)= \begin{vmatrix} y_{1}(t) & y_{2}(t)\\[4pt] y_{1}'(t) & y_{2}'(t) \end{vmatrix} = y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Aqui cada apóstrofo indica derivada em relação a t. Vai ser preciso então calcular y_{1}'(t) e y_{2}'(t).\n
Lembrete rápido sobre derivadas que vamos usar: para u(t)=e^{t} tem u'(t)=e^{t}. Para \sin(kt) a derivada é k\cos(kt). Para \cos(kt) a derivada é -k\sin(kt). Se uma função é produto u(t)v(t) usamos a regra do produto:
(uv)'=u'v+uv'.]

Passo 3

Calcular y_{1}'(t) passo a passo usando regra do produto para y_{1}(t)=e^{t}\sin 4t.\n
Derivada de e^{t} é e^{t}. Derivada de \sin 4t é 4\cos 4t. Aplicando:
y_{1}'(t) = (e^{t})' \sin 4t + e^{t} (\sin 4t)' = e^{t}\sin 4t + e^{t}\cdot 4\cos 4t.
Fatorando e^{t}:
y_{1}'(t)=e^{t}\bigl(\sin 4t + 4\cos 4t\bigr).

Passo 4

Calcular y_{2}'(t) para y_{2}(t)=e^{t}\cos 5t.\n
Derivada de \cos 5t é -5\sin 5t. Aplicando a regra do produto:
y_{2}'(t) = (e^{t})'\cos 5t + e^{t}(\cos 5t)' = e^{t}\cos 5t + e^{t}\cdot(-5\sin 5t).
Fatorando e^{t}:
y_{2}'(t)=e^{t}\bigl(\cos 5t - 5\sin 5t\bigr).

Passo 5

Agora montamos o Wronskiano usando a fórmula determinantal:
W(y_{1},y_{2})(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Substituindo y_{1},y_{2},y_{1}',y_{2}' obtidos:
W=e^{t}\sin 4t\cdot e^{t}\bigl(\cos 5t-5\sin 5t\bigr) - e^{t}\bigl(\sin 4t+4\cos 4t\bigr)\cdot e^{t}\cos 5t.
Fatorando e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}:
W=e^{2t}\Bigl[\sin 4t\bigl(\cos 5t-5\sin 5t\bigr)-\bigl(\sin 4t+4\cos 4t\bigr)\cos 5t\Bigr].

Passo 6

Simplificamos a expressão entre colchetes. Primeiro expandimos:
\sin 4t\cos 5t-5\sin 4t\sin 5t-\sin 4t\cos 5t-4\cos 4t\cos 5t.
Observe que \sin 4t\cos 5t aparece com sinal positivo e negativo e se cancelam. Então sobra
W = e^{2t}\Bigl[-5\sin 4t\sin 5t - 4\cos 4t\cos 5t\Bigr].
Podemos deixar assim ou transformar a combinação trigonométrica em algo mais explícito usando identidades produto-para-soma. Vou mostrar isso porque fica elegante: \n
Identidades úteis:
\sin a\sin b=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr),
\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr).
Aplicando para a=4t e b=5t (note que a-b=-t e a+b=9t):
5\sin 4t\sin 5t+4\cos 4t\cos 5t =\tfrac{1}{2}\bigl(5(\cos(-t)-\cos 9t)+4(\cos(-t)+\cos 9t)\bigr).
Como \cos(-t)=\cos t, isso vira
=\tfrac{1}{2}\bigl(9\cos t - \cos 9t\bigr).
Portanto a combinação anterior vale \tfrac{1}{2}(9\cos t-\cos 9t). Lembre que isto depende de t (ou seja, não é constante em geral); aqui usamos \cos(4t-5t)=\cos(-t)=\cos t.\n
Voltando ao Wronskiano, temos então
W(y_{1},y_{2})(t)=-e^{2t}\cdot\Bigl(5\sin 4t\sin 5t+4\cos 4t\cos 5t\Bigr) = -\frac{e^{2t}}{2}\bigl(9\cos t-\cos 9t\bigr).

Resposta

W(y_{1},y_{2})(t)=-\frac{e^{2t}}{2}\bigl(9\cos t-\cos 9t\bigr)

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