Resolver as equações diferenciais:
x y^{\prime}-y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
x\,y'(x)-y(x)=\sqrt{x^{2}+y(x)^{2}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve a derivada y', y e a raiz \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Observação importante: a equação contém termos com divisão por x (quando isolarmos y'), então devemos tratar separadamente a região x>0 e x<0 (e notar que x=0 não pertence naturalmente ao domínio da solução obtida).
  • Objetivo: encontrar a família de soluções gerais y(x), indicando as constantes de integração e domínio (em especial a dependência do sinal de x).

Passo 2

Vamos rearranjar a equação para uma forma mais útil. Dividindo por x (assumindo momentaneamente x\neq0) temos
y'(x)-\frac{y(x)}{x}=\frac{1}{x}\sqrt{x^{2}+y(x)^{2}}.
Essa forma sugere tentar a substituição homogênea usual y(x)=v(x)\,x. Vou explicar por quê: quando y e x aparecem com as mesmas potências (a raiz tem x^{2}+y^{2}), a substituição y=vx frequentemente simplifica a dependência em x e v.

Passo 3

Fazendo y=vx (onde v=v(x)), calculamos a derivada:
y' = v + x v'.
Substituindo na equação original:
x(v + x v') - v x = \sqrt{x^{2} + v^{2}x^{2}}.
No lado esquerdo xv cancela com -vx, sobrando x^{2} v'. No lado direito fatoramos x^{2} dentro da raiz:
x^{2} v' = \sqrt{x^{2}(1+v^{2})} = |x|\sqrt{1+v^{2}}.
Portanto obtemos a equação para v:
x^{2} v' = |x| \sqrt{1+v^{2}}.

Passo 4

A equação anterior pode ser escrita como
v' = \frac{|x|}{x^{2}} \sqrt{1+v^{2}} = \frac{\operatorname{sgn}(x)}{x}\sqrt{1+v^{2}},
onde \operatorname{sgn}(x) é 1 se x>0 e -1 se x<0. Como \operatorname{sgn}(x) é constante em cada intervalo onde x não muda de sinal, devemos integrar separadamente para x>0 e x<0.

Passo 5

Caso 1: x>0. Então \operatorname{sgn}(x)=1 e a equação para v é
\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}\sqrt{1+v^{2}}.
Esta é uma equação separável. Separamos variáveis:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 6

Integração do lado esquerdo: a primitiva de 1/\sqrt{1+v^{2}} é a função \operatorname{arsinh}(v) (ou \operatorname{arcsinh}(v)), que também pode ser escrita como \ln\big(v+\sqrt{1+v^{2}}\big). Explicitamente,
\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=\operatorname{arsinh}(v)+C.
Do lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Igualando e absorvendo constantes, obtemos (para x>0, podemos usar \ln x em vez de \ln|x|):
\operatorname{arsinh}(v)=\ln x + C_1.

Passo 7

Voltando à variável original y com v=y/x, ficamos com
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln x + C_1,\qquad x>0.
Podemos isolar y. Usando v=\operatorname{sinh}(\operatorname{arsinh} v) e a identidade inversa, obtemos
\frac{y}{x}=\operatorname{sinh}(\ln x + C_1),
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y(x)=x\,\operatorname{sinh}(\ln x + C_1),\qquad x>0.
Querendo uma forma algébrica em termos de exponenciais, use \operatorname{sinh}(u)=\dfrac{e^{u}-e^{-u}}{2}. Seja K=e^{C_1}>0. Então
y(x)=x\cdot\frac{e^{C_1}x - e^{-C_1}x^{-1}}{2}=\frac{K x^{2}-K^{-1}}{2},\qquad x>0,
onde K>0 é constante arbitrária (equivalente à constante C_1).

Passo 8

Caso 2: x<0. Agora \operatorname{sgn}(x)=-1 e a equação para v é
\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{x}\sqrt{1+v^{2}}.
Separando e integrando:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=-\frac{dx}{x}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{arsinh}(v)=-\ln|x|+C_2.
Reescrevendo em termos de y (lembre que v=y/x):
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=-\ln|x|+C_2,\qquad x<0,
ou
\frac{y}{x}=\operatorname{sinh}(-\ln|x|+C_2).
Multiplicando por x obtemos
y(x)=x\,\operatorname{sinh}(-\ln|x|+C_2),\qquad x<0.
Novamente, com M=e^{C_2}>0 podemos escrever em forma algébrica:
y(x)=\frac{M^{-1}x^{2}-M}{2},\qquad x<0.
(Obtivemos forma quadrática parecida com a do caso x>0, apenas os parâmetros ficam reatribuídos.)

Passo 9

Observações finais e domínio:
  • As soluções encontradas são válidas em intervalos onde x não muda de sinal (ou seja, em (0,\infty) e em (-\infty,0)) porque usamos \operatorname{sgn}(x) constante. Não existe extensão contínua automática através de x=0 sem verificar condições adicionais.
  • As constantes C_1,C_2 (ou as alternativas K,M>0) representam as famílias de soluções gerais em cada ramo.
  • Podemos juntar as duas expressões numa forma única usando \operatorname{sgn}(x):
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\operatorname{sgn}(x)\ln|x|+C,
com C constante em cada componente do domínio (isto é, constante distinta possivelmente em x>0 e em x<0).

Resposta

\displaystyle \text{Para }x>0:\quad \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\ln x + C_1\quad\text{ou}\quad y=x\operatorname{sinh}(\ln x + C_1)=\dfrac{K x^{2}-K^{-1}}{2},\;K>0.\n
\displaystyle \text{Para }x<0:\quad \operatorname{arsinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)=-\ln|x| + C_2\quad\text{ou}\quad y=x\operatorname{sinh}(-\ln|x| + C_2)=\dfrac{M^{-1}x^{2}-M}{2},\;M>0.

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