Resolver as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve a derivada
, e a raiz . - Observação importante: a equação contém termos com divisão por
(quando isolarmos ), então devemos tratar separadamente a região e (e notar que não pertence naturalmente ao domínio da solução obtida). - Objetivo: encontrar a família de soluções gerais
, indicando as constantes de integração e domínio (em especial a dependência do sinal de ).
Passo 2
Vamos rearranjar a equação para uma forma mais útil. Dividindo por
(assumindo momentaneamente
) temos
Essa forma sugere tentar a substituição homogênea usual
. Vou explicar por quê: quando
e
aparecem com as mesmas potências (a raiz tem
), a substituição
frequentemente simplifica a dependência em
e
.
Passo 3
Fazendo
(onde
), calculamos a derivada:
Substituindo na equação original:
No lado esquerdo
cancela com
, sobrando
. No lado direito fatoramos
dentro da raiz:
Portanto obtemos a equação para
:
Passo 4
A equação anterior pode ser escrita como
onde
é
se
e
se
. Como
é constante em cada intervalo onde
não muda de sinal, devemos integrar separadamente para
e
.
Passo 5
Caso 1:
. Então
e a equação para
é
Esta é uma equação separável. Separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados.
Passo 6
Integração do lado esquerdo: a primitiva de
é a função
(ou
), que também pode ser escrita como
. Explicitamente,
Do lado direito,
Igualando e absorvendo constantes, obtemos (para
, podemos usar
em vez de
):
Passo 7
Voltando à variável original
com
, ficamos com
Podemos isolar
. Usando
e a identidade inversa, obtemos
logo
Querendo uma forma algébrica em termos de exponenciais, use
. Seja
. Então
onde
é constante arbitrária (equivalente à constante
).
Passo 8
Caso 2:
. Agora
e a equação para
é
Separando e integrando:
Reescrevendo em termos de
(lembre que
):
ou
Multiplicando por
obtemos
Novamente, com
podemos escrever em forma algébrica:
(Obtivemos forma quadrática parecida com a do caso
, apenas os parâmetros ficam reatribuídos.)
Passo 9
Observações finais e domínio:
- As soluções encontradas são válidas em intervalos onde
não muda de sinal (ou seja, em e em ) porque usamos constante. Não existe extensão contínua automática através de sem verificar condições adicionais. - As constantes
(ou as alternativas ) representam as famílias de soluções gerais em cada ramo. - Podemos juntar as duas expressões numa forma única usando
:
com
constante em cada componente do domínio (isto é, constante distinta possivelmente em
e em
).