Resolver as equações diferenciais:
y+(2 \sqrt{x y}-x) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y + \bigl(2\sqrt{xy}-x\bigr)\,y' = 0,
onde y=y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação envolve a função y e sua derivada y'.
  • Aparece \sqrt{xy}, logo precisamos ter atenção ao domínio onde essa raiz é real (por exemplo x e y com mesmo sinal, tipicamente consideramos x>0 e y>0 para trabalhar com a raiz principal).
  • O objetivo é obter a solução geral (ou as soluções particulares que existirem).

Passo 2

Primeiro passo prático: vou isolar y'. Reescrevendo a equação,
\bigl(2\sqrt{xy}-x\bigr)\,y' = -y,
logo
y' = -\dfrac{y}{2\sqrt{xy}-x}.
Antes de partir para manipulações, observo que a presença de \sqrt{xy} sugere tentar uma mudança que elimine essa raiz combinando x e y. Uma mudança natural é expressar a razão entre y e x de forma que a raiz vire uma expressão simples.

Passo 3

Faço a substituição que “mata” a raiz: defino
u(x) = \sqrt{\dfrac{y(x)}{x}}.
Essa escolha foi pensada porque então
u^2 = \dfrac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y = x\,u^2.
Também preciso da derivada y' em termos de u e u'. Derivando y=xu^2 em relação a x:
y' = \dfrac{d}{dx}\bigl(xu^2\bigr) = u^2 + 2x u\,u'.
Finalmente, a raiz fica simples:
\sqrt{xy} = \sqrt{x\cdot x u^2} = x\,u,
assumindo x\ge 0 e tomando a raiz principal (para x<0 precisaríamos tratar sinais; aqui seguimos o caso x>0, y>0).

Passo 4

Substituo y = x u^2, y' = u^2 + 2x u u' e \sqrt{xy}=x u na equação original:
x u^2 + \bigl(2(xu)-x\bigr)\bigl(u^2 + 2x u u'\bigr) = 0.
Fatorando x:
x u^2 + x(2u-1)\bigl(u^2 + 2x u u'\bigr) = 0.
Divido ambos os lados por x (considerando x\neq 0):
u^2 + (2u-1)\bigl(u^2 + 2x u u'\bigr) = 0.

Passo 5

Faço a expansão e simplificação:
u^2 + (2u-1)u^2 + (2u-1)2x u u' = 0.
Agrupando termos:
2u^3 + 2x u u'(2u-1) = 0.
Posso dividir por 2u desde que u\neq 0. Antes de dividir, trato dos casos especiais:
  • Se u=0 então y= x u^2 = 0. Verifico se y\equiv 0 é solução: substituindo y=0 na equação original obtemos (-x) y' = 0 → para x\neq0 tem-se y'=0, compatível com y\equiv 0. Portanto y\equiv 0 é uma solução particular.
  • Se 2u-1=0 (ou seja u=\tfrac12), então o coeficiente que multiplica y' na equação original seria zero, e a equação exigiria y=0, o que contradiz u=\tfrac12 (que daria y=\tfrac{x}{4}\neq0). Logo u=\tfrac12 não gera solução válida (exceto possivelmente na interseção com y=0, que já tratamos).
Assumindo agora u\neq 0 e 2u-1\neq0, divido por 2u:
u^2 + x u'(2u-1) = 0.
Isolando u':
x u'(2u-1) = -u^2\quad\Rightarrow\quad u' = -\dfrac{u^2}{x(2u-1)}.

Passo 6

A equação obtida é separável. Reescrevo u' como \dfrac{du}{dx} e separo variáveis:
\frac{2u-1}{u^2}\,du = -\frac{dx}{x}.
Agora vou integrar ambos os lados. Antes de integrar, faço a decomposição
\frac{2u-1}{u^2} = \frac{2}{u} - \frac{1}{u^2},
o que facilita a integração.

Passo 7

Integro os dois lados:
\int\!\left(\frac{2}{u} - \frac{1}{u^2}\right)du = \int\!-\frac{dx}{x}.
Calculo as integrais separadamente:
\int \frac{2}{u}\,du = 2\ln|u|,\qquad \int -\frac{1}{u^2}\,du = \frac{1}{u},
pois \dfrac{d}{du}\!\bigl(\tfrac{1}{u}\bigr) = -\tfrac{1}{u^2}.
No lado direito,
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C,
com constante de integração C. Portanto, somando,
2\ln|u| + \frac{1}{u} = -\ln|x| + C.

Passo 8

Agrupo os termos logarítmicos:
2\ln|u| + \ln|x| + \frac{1}{u} = C.
Usando propriedades de logaritmo, \ln|x| + 2\ln|u| = \ln\bigl(|x|\,|u|^2\bigr). Lembro que x u^2 = y pela substituição, então |x|\,|u|^2 = |y|. Substituindo de volta:
\ln|y| + \frac{1}{u} = C.
E voltando a u em termos de x,y: \dfrac{1}{u} = \dfrac{1}{\sqrt{y/x}} = \sqrt{\dfrac{x}{y}}. Assim a solução geral implícita (no domínio em que as raízes são bem definidas, por exemplo x>0,y>0) é
\ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C,
com C constante arbitrária.

Passo 9

Recapitulo as soluções encontradas e as restrições:
  • Solução geral implícita: \ln|y| + \sqrt{\dfrac{x}{y}} = C, válida onde \sqrt{\dfrac{x}{y}} é real (por exemplo x>0, y>0; se permitir sinais deve-se tratar a escolha da raiz).
  • Solução singular particular: y\equiv 0.
    Observação final: não é fácil isolar y explicitamente da expressão implícita em forma elementar; portanto a forma implícita acima é a forma aceitável da solução geral.

Resposta

\displaystyle \ln|y|+\sqrt{\dfrac{x}{y}}=C
\displaystyle y\equiv 0

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