Resolver as equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
e
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação envolve a função
e sua derivada . - Aparece
, logo precisamos ter atenção ao domínio onde essa raiz é real (por exemplo e com mesmo sinal, tipicamente consideramos e para trabalhar com a raiz principal). - O objetivo é obter a solução geral (ou as soluções particulares que existirem).
Passo 2
Primeiro passo prático: vou isolar
. Reescrevendo a equação,
logo
Antes de partir para manipulações, observo que a presença de
sugere tentar uma mudança que elimine essa raiz combinando
e
. Uma mudança natural é expressar a razão entre
e
de forma que a raiz vire uma expressão simples.
Passo 3
Faço a substituição que “mata” a raiz: defino
Essa escolha foi pensada porque então
Também preciso da derivada
em termos de
e
. Derivando
em relação a
:
Finalmente, a raiz fica simples:
assumindo
e tomando a raiz principal (para
precisaríamos tratar sinais; aqui seguimos o caso
,
).
Passo 4
Substituo
,
e
na equação original:
Fatorando
:
Divido ambos os lados por
(considerando
):
Passo 5
Faço a expansão e simplificação:
Agrupando termos:
Posso dividir por
desde que
. Antes de dividir, trato dos casos especiais:
- Se
então . Verifico se é solução: substituindo na equação original obtemos → para tem-se , compatível com . Portanto é uma solução particular. - Se
(ou seja ), então o coeficiente que multiplica na equação original seria zero, e a equação exigiria , o que contradiz (que daria ). Logo não gera solução válida (exceto possivelmente na interseção com , que já tratamos).
Assumindo agora
e
, divido por
:
Isolando
:
Passo 6
A equação obtida é separável. Reescrevo
como
e separo variáveis:
Agora vou integrar ambos os lados. Antes de integrar, faço a decomposição
o que facilita a integração.
Passo 7
Integro os dois lados:
Calculo as integrais separadamente:
pois
.
No lado direito,
No lado direito,
com constante de integração
. Portanto, somando,
Passo 8
Agrupo os termos logarítmicos:
Usando propriedades de logaritmo,
. Lembro que
pela substituição, então
. Substituindo de volta:
E voltando a
em termos de
:
. Assim a solução geral implícita (no domínio em que as raízes são bem definidas, por exemplo
) é
com
constante arbitrária.
Passo 9
Recapitulo as soluções encontradas e as restrições:
- Solução geral implícita:
, válida onde é real (por exemplo ; se permitir sinais deve-se tratar a escolha da raiz). - Solução singular particular:
.
Observação final: não é fácil isolarexplicitamente da expressão implícita em forma elementar; portanto a forma implícita acima é a forma aceitável da solução geral.