Resolver as equações diferenciais:
Achar, para a equação \left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y y^{\prime}=0 a família das curvas integrais e escolher as curvas que passam respectivamente pelos pontos (4,0) e (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\left(x^{2}+y^{2}\right)-2 x y y^{\prime}=0
e pede duas coisas: (a) encontrar a família das curvas integrais (a solução geral implícita) e (b) escolher, dentro dessa família, as curvas que passam pelos pontos (4,0) e (1,1).
Informações relevantes fornecidas: a equação relaciona x, y e y'=\dfrac{dy}{dx}; não há figura. Note que a equação envolve apenas potências homogêneas de x e y (grau 2), então podemos esperar usar uma substituição do tipo y= vx — mas isso fica para os passos seguintes.

Passo 2

Colocando a equação em forma explícita para y' (quando possível) temos
-2xy\,y' = -(x^{2}+y^{2}) \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{x^{2}+y^{2}}{2xy}.
Aqui já vale observar restrições: essa expressão exige x\neq 0 e y\neq 0 para a manipulação direta. Mais adiante vamos tratar singularidades/pontos especiais. Agora percebemos que o lado direito depende apenas da razão y/x, ou seja, é uma equação homogênea de grau zero em x,y. Isso sugere a substituição padrão y=vx, onde v é função de x.

Passo 3

Fazendo a substituição y=vx. Então y' = v + x\frac{dv}{dx} (porque derivada de y em relação a x é v + x dv/dx; aqui v=v(x)). Substituímos na expressão obtida:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^{2} + v^{2}x^{2}}{2x\cdot v x} = \frac{1+v^{2}}{2v}.
Expliquei a direita: fatoramos x^{2} no numerador e x^{2} no denominador, que se cancelam, restando função só de v.

Passo 4

Isolamos x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{2v} - v = \frac{1+v^{2}-2v^{2}}{2v} = \frac{1-v^{2}}{2v}.
Agora separamos variáveis para integrar. Escrevemos
\frac{2v}{1-v^{2}}\,dv = \frac{dx}{x}.
Explicação da separação: passamos tudo em v para o lado esquerdo e tudo em x para o direito; assim podemos integrar cada lado em sua variável.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para a esquerda é conveniente notar que d(1-v^{2}) = -2v\,dv. Então
\int \frac{2v}{1-v^{2}}\,dv = \int -\frac{d(1-v^{2})}{1-v^{2}} = -\ln\big|1-v^{2}\big| + C_{1}.
Para a direita
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Igualando integrais e absorvendo constantes em uma só constante C obtemos
- \ln\big|1-v^{2}\big| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\big|1-v^{2}\big| + \ln|x| = \tilde C,
onde \tilde C é constante arbitrária. Assim
\ln\big(|x|\cdot|1-v^{2}|\big) = \tilde C \quad\Longrightarrow\quad |x|\cdot|1-v^{2}| = K,
com K>0 constante. Retirando valor absoluto (absorvendo sinal em K) e voltando à variável y com v=y/x, temos implicitamente
x\big(1-(y/x)^{2}\big) = C,
onde C é constante arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero).

Passo 6

Simplificamos a expressão para uma forma mais elegante:
x\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}-y^{2}}{x} = C.
Multiplicando por x (observando que isso requer tratar caso x=0 separadamente se necessário) obtemos a família explícita usual:
x^{2}-y^{2} = Cx.
Essa é a família de curvas integrais (uma família de hipérboles/degênere quando C=0). Nota sobre domínio: na dedução usamos x\neq 0 e y\neq 0 em alguns pontos; porém a relação final x^{2}-y^{2}=Cx é a forma implícita que representa as soluções para os ramos onde as manipulações foram válidas. Pontos em que y=0 ou x=0 devem ser verificados caso a caso.

Passo 7

Vamos verificar possíveis soluções singulares: testar y\equiv 0 não satisfaz a equação original (porque \left.x^{2}+0\right.\neq 0 para x\neq 0). Em x=0 a equação original dá y^{2}=0, logo apenas o ponto (0,0) se encaixa como ponto isolado. Portanto não há outra solução singular além do que já está contido na família implícita (exceto atenção local nos pontos onde derivadas ficam indefinidas).

Passo 8

Agora escolhemos as curvas que passam pelos pontos dados usando a condição inicial para determinar C.
Para (4,0): substituímos x=4, y=0 em x^{2}-y^{2}=Cx:
4^{2}-0^{2} = C\cdot 4 \quad\Longrightarrow\quad 16 = 4C \quad\Longrightarrow\quad C=4.
Logo a curva da família que passa por (4,0) é
x^{2}-y^{2}=4x.
Comentário (didático): nesse ponto y=0 a expressão para y' original fica indefinida, e a curva resultante tem tangente vertical em (4,0) — mas a curva pertence à família de soluções implícitas obtidas.

Passo 9

Para (1,1): substituímos x=1, y=1 em x^{2}-y^{2}=Cx:
1^{2}-1^{2} = C\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad 0 = C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Então a curva correspondente é
x^{2}-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=x^{2}\quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.
Como o ponto (1,1) tem y=+x, a curva escolhida é y=x (o ramo positivo). Observação: y=x realmente satisfaz a equação implícita com C=0 e, para y=x com x\neq 0, podemos verificar na equação diferencial original: substituindo y=x temos x^{2}+x^{2}-2x\cdot x\cdot y' = 0 \Rightarrow 2x^{2}-2x^{2}y'=0 \Rightarrow y'=1, que coincide com a derivada de y=x, logo é solução regular.

Resposta

x^{2}-y^{2}=Cx
x^{2}-y^{2}=4x
x^{2}-y^{2}=0

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