(Valor 2 pontos) Resolva a equação diferencial:
(3 x^2 e^y+y) d x+(x^3 e^y+x) d y=0
encontrando a solução geral y=y(x), e em seguida, a solução particular que atende à condição inicial y(1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
(3 x^2 e^y+y) dx + (x^3 e^y+x) dy = 0
Estamos lidando com equações diferenciais exatas aqui. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução geral. Depois, aplicaremos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $. Chamamos elas de $ M(x,y) $ e $ N(x,y) $, respectivamente:
dx
dy

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se:
M dx + N dy = 0
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y = partialpartial y (3 x^2 e^y + y) = 3 x^2 e^y + 1

Passo 5

Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata! Isso significa que existe uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Psi(x,y)

Passo 6

Vamos encontrar $ \Psi(x,y) $ integrando $ M(x,y) $ em relação a $ x $:
Psi(x,y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece porque a integração em relação a $ x $ pode incluir termos que dependem apenas de $ y $.

Passo 7

Agora, derivamos $ \Psi(x,y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x,y) $:
Psi(x,y)
Comparando ambos os lados:
y
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante. Vamos chamar essa constante de $ C $.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Psi(x,y) = e^y x^3 + y x + C
A solução geral da equação diferencial é $ \Psi(x,y) = C $, ou seja:
Psi(x,y) = C

Passo 9

Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar a solução particular. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ na equação geral:
y(1) = 0

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ e^{y} x^{3} + y x = C $. A solução particular que satisfaz $ y(1) = 0 $ é:
e^y x^3 + y x = C

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