(Valor 2 pontos) Resolva a equação diferencial:
encontrando a solução geral
, e em seguida, a solução particular que atende à condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
Estamos lidando com equações diferenciais exatas aqui. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos dará a solução geral. Depois, aplicaremos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam $ dx $ e $ dy $. Chamamos elas de $ M(x,y) $ e $ N(x,y) $, respectivamente:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 5
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata! Isso significa que existe uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
Passo 6
Vamos encontrar $ \Psi(x,y) $ integrando $ M(x,y) $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece porque a integração em relação a $ x $ pode incluir termos que dependem apenas de $ y $.
Passo 7
Agora, derivamos $ \Psi(x,y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x,y) $:
Comparando ambos os lados:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante. Vamos chamar essa constante de $ C $.
Passo 8
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é $ \Psi(x,y) = C $, ou seja:
Passo 9
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar a solução particular. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 0 $ na equação geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ e^{y} x^{3} + y x = C $. A solução particular que satisfaz $ y(1) = 0 $ é: