Resolver as equações:
|ccclog 8 x & log 4 x & log 16 x 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2|=-32

Passo 1

O enunciado pede para achar x>0 tal que o determinante da matriz
log8x & log4x & log16x 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2
seja igual a -tfrac32. O conteúdo envolve usar a mudança de base para logaritmos e depois calcular um determinante que será função de uma única variável.

Passo 2

Usamos a mudança de base logax = ln xln a e introduzimos
t = log2x = ln xln 2
Então
log8x = ln xln 8 = ln x3ln 2 = t3, log4x = t2, log16x = t4

Passo 3

Em função de t, o determinante vira
D(t) = t3 & t2 & t4 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2
Como a primeira linha é proporcional a t, podemos fatorar t:
D(t) = t 13 & 12 & 14 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2

Passo 4

Calculemos
K = 13 & 12 & 14 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2
Pela regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha:
K = 13,(1cdot2 - 1cdot2) - 12,(1cdot2 - 1cdot1) + 14,(1cdot2 - 1cdot1) = 0 - 12cdot1 + 14cdot1 = -14
Logo D(t) = tcdotl(-tfrac14r) = -tfract4

Passo 5

Queremos D(t) = -tfrac32, ou seja
-t4 = -32 Longrightarrow t4 = 32 Longrightarrow t = 6

Passo 6

Voltando a x, temos t = log2x = 6, portanto
x = 2^6 = 64

Resposta

x = 64

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