Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
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(11)
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Passo 1
Temos a equação p(x)=0 com
p(x)=x5-2x4-3x3+4x2+4x.
O conteúdo é raízes de polinômios reais e vamos usar o Teorema do Resto, o método de Ruffini para fatoração e análise de sinais para o gráfico.
p(x)=x5-2x4-3x3+4x2+4x.
O conteúdo é raízes de polinômios reais e vamos usar o Teorema do Resto, o método de Ruffini para fatoração e análise de sinais para o gráfico.
Passo 2
Note que não há termo constante em p(x), logo x=0 é raiz. Fatorando x em p(x) obtemos
Definimos
Passo 3
Para achar raízes racionais de
, testamos x=2:
. Aplicando Ruffini com raiz 2 em
, dividimos os coeficientes
por 2 e obtemos quociente
Passo 4
Chamando
, testamos x=-1:
. Aplicando Ruffini com raiz -1 aos coeficientes
, obtemos quociente
Passo 5
Fatorando o quadrático
logo
Passo 6
Reagrupando em p(x):
As raízes são x=0 (mult. 1), x=-1 (mult. 2) e x=2 (mult. 2).
Passo 7
Para o esboço: como p é de grau ímpar e coeficiente líder >0, temos
p(x)→-∞ para x→-∞ e p(x)→+∞ para x→+∞.
Em x=-1 (mult. 2) a curva toca o eixo x vindo de baixo e volta para baixo; em x=0 (mult. 1) cruza de negativo para positivo; em x=2 (mult. 2) toca o eixo vindo de cima e retorna para cima.
p(x)→-∞ para x→-∞ e p(x)→+∞ para x→+∞.
Em x=-1 (mult. 2) a curva toca o eixo x vindo de baixo e volta para baixo; em x=0 (mult. 1) cruza de negativo para positivo; em x=2 (mult. 2) toca o eixo vindo de cima e retorna para cima.
Resposta
As raízes de p(x)=0 são x=0 (multiplicidade 1), x=−1 (multiplicidade 2) e x=2 (multiplicidade 2), com fatoração p(x)=x(x+1)2(x−2)2. No gráfico, a curva vai de −∞ (x→−∞), toca no eixo em x=−1 mantendo sinal negativo, cruza em x=0 de negativo para positivo, toca em x=2 mantendo sinal positivo e segue para +∞ (x→+∞).