Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(11) p(x)=x^5-2 x^4-3 x^3+4 x^2+4 x.

Passo 1

Temos a equação p(x)=0 com
p(x)=x5-2x4-3x3+4x2+4x.
O conteúdo é raízes de polinômios reais e vamos usar o Teorema do Resto, o método de Ruffini para fatoração e análise de sinais para o gráfico.

Passo 2

Note que não há termo constante em p(x), logo x=0 é raiz. Fatorando x em p(x) obtemos
p(x)=x,(x^4-2x^3-3x^2+4x+4)
Definimos q(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x+4.

Passo 3

Para achar raízes racionais de q(x), testamos x=2: q(2)=16-16-12+8+4=0. Aplicando Ruffini com raiz 2 em q(x), dividimos os coeficientes 1,-2,-3,4,4 por 2 e obtemos quociente
x^3+0x^2-3x-2

Passo 4

Chamando r(x)=x^3-3x-2, testamos x=-1: r(-1)=-1+3-2=0. Aplicando Ruffini com raiz -1 aos coeficientes 1,0,-3,-2, obtemos quociente
x^2 - x - 2

Passo 5

Fatorando o quadrático
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1),
logo q(x)=(x-2)(x+1)(x-2)(x+1)=(x-2)^2(x+1)^2

Passo 6

Reagrupando em p(x):
p(x)=x,(x+1)^2(x-2)^2
As raízes são x=0 (mult. 1), x=-1 (mult. 2) e x=2 (mult. 2).

Passo 7

Para o esboço: como p é de grau ímpar e coeficiente líder >0, temos
p(x)→-∞ para x→-∞ e p(x)→+∞ para x→+∞.
Em x=-1 (mult. 2) a curva toca o eixo x vindo de baixo e volta para baixo; em x=0 (mult. 1) cruza de negativo para positivo; em x=2 (mult. 2) toca o eixo vindo de cima e retorna para cima.

Resposta

As raízes de p(x)=0 são x=0 (multiplicidade 1), x=−1 (multiplicidade 2) e x=2 (multiplicidade 2), com fatoração p(x)=x(x+1)2(x−2)2. No gráfico, a curva vai de −∞ (x→−∞), toca no eixo em x=−1 mantendo sinal negativo, cruza em x=0 de negativo para positivo, toca em x=2 mantendo sinal positivo e segue para +∞ (x→+∞).

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