Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes variáveis
(2x^2+1)y’’ - 4x y’ + 4y = 0 e já sabemos uma solução y₁ = x. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente y₂.
(2x^2+1)y’’ - 4x y’ + 4y = 0 e já sabemos uma solução y₁ = x. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente y₂.
Passo 2
Assumimos y₂ = v(x)·y₁ = v(x)·x. Precisamos das derivadas:
y₂’ = v’·x + v,
y₂’’ = v’’·x + 2v’.
y₂’ = v’·x + v,
y₂’’ = v’’·x + 2v’.
Passo 3
Substituindo y₂, y₂’ e y₂’’ na EDO e organizando, temos
Os termos em v se cancelam e sobra
Passo 4
Fazendo a troca v’ = w, obtemos uma EDO de 1ª ordem em w:
Separamos variáveis:
Passo 5
Integramos ambos os lados. Para ∫ -2/[x(2x^2+1)] dx usamos frações parciais:
-2/[x(2x^2+1)] = -2/x + 4x/(2x^2+1).
Assim,
-2/[x(2x^2+1)] = -2/x + 4x/(2x^2+1).
Assim,
Então
Passo 6
Voltando a v: v’ = w ⇒
Passo 7
Construindo y₂ = v·x = [C_1(2x - 1/x) + C_2]·x = C_1(2x^2 - 1) + C_2 x. Desprezando a parte C₂x (que é proporcional a y₁), escolhemos como segunda solução independente
Resposta
A solução geral é y = C_1 x + C_2 (2x^2 - 1).