Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
(2 x^2+1) y^prime prime-4 x y^prime+4 y=0, y1=x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes variáveis
(2x^2+1)y’’ - 4x y’ + 4y = 0 e já sabemos uma solução y₁ = x. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução independente y₂.

Passo 2

Assumimos y₂ = v(x)·y₁ = v(x)·x. Precisamos das derivadas:
y₂’ = v’·x + v,
y₂’’ = v’’·x + 2v’.

Passo 3

Substituindo y₂, y₂’ e y₂’’ na EDO e organizando, temos
(2x^2+1)(v''x + 2v') - 4x(v'x + v) + 4(vx) = 0
Os termos em v se cancelam e sobra
x(2x^2+1)v'' + 2v' = 0

Passo 4

Fazendo a troca v’ = w, obtemos uma EDO de 1ª ordem em w:
x(2x^2+1)w' + 2w = 0
Separamos variáveis:
w'w = -2x(2x^2+1)

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para ∫ -2/[x(2x^2+1)] dx usamos frações parciais:
-2/[x(2x^2+1)] = -2/x + 4x/(2x^2+1).
Assim,
ln|w| = -2ln|x| + ln(2x^2+1) + C
Então
w = C1 2x^2+1x^2

Passo 6

Voltando a v: v’ = w ⇒
v = integral C12x^2+1x^2dx = C1l(2x - 1xr) + C2

Passo 7

Construindo y₂ = v·x = [C_1(2x - 1/x) + C_2]·x = C_1(2x^2 - 1) + C_2 x. Desprezando a parte C₂x (que é proporcional a y₁), escolhemos como segunda solução independente
y2 = 2x^2 - 1

Resposta

A solução geral é y = C_1 x + C_2 (2x^2 - 1).

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