Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
.
(3)
.
(3)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação polinomial p(x)=0 com p(x)=x³–x²–4 usando o método de Ruffini e depois fazer um esboço do gráfico de y=p(x). O conteúdo é encontrar raízes racionais pelo Teorema das Raízes Racionais e usar divisão sintética, além de analisar o comportamento da função para desenhar o gráfico.
Passo 2
Pelo Teorema das Raízes Racionais, as raízes possíveis são os divisores de –4 (termo independente) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder), ou seja ±1, ±2, ±4. Testamos p(1)=1–1–4=–4≠0, p(2)=8–4–4=0. Logo x=2 é raiz.
Passo 3
Aplicamos a divisão sintética (Ruffini) com 2 sobre os coeficientes de p(x), que são 1 (x³), –1 (x²), 0 (x), –4:
1 –1 0 –4
· 2 2 4
1 1 2 0
· 2 2 4
1 1 2 0
O quociente é x² + x + 2 e o resto é 0.
Passo 4
Para resolver x² + x + 2 = 0 usamos a fórmula de Bháskara. O discriminante é Δ=1–4·1·2=–7. Assim as outras duas raízes são complexas
Portanto a única raiz real é x=2.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de y=p(x), analisamos limites e pontos-chave:
– Quando x→–∞, p(x)→–∞; quando x→+∞, p(x)→+∞.
– Pontos: p(0)=–4, p(1)=–4, p(2)=0, p(3)=14.
– Derivada p′(x)=3x²–2x tem raízes em x=0 e x=2/3, dando um máximo local em (0,–4) e um mínimo local em .
– Quando x→–∞, p(x)→–∞; quando x→+∞, p(x)→+∞.
– Pontos: p(0)=–4, p(1)=–4, p(2)=0, p(3)=14.
– Derivada p′(x)=3x²–2x tem raízes em x=0 e x=2/3, dando um máximo local em (0,–4) e um mínimo local em
Passo 6
Usando essas informações, desenha-se uma curva cúbica que vem de baixo à esquerda, sobe até (0,–4), desce levemente até (2/3,–4{,}15), e depois cresce cruzando o eixo x em 2 e subindo indefinidamente.
Resposta
As raízes de p(x)=0 são x=2 e x=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}. O gráfico aproximado de y=x³–x²–4 tem formato de cúbica com único zero real em x=2, passando por (0,–4), exibindo um máximo local em (0,–4) e um mínimo local em
.