Resolver as equações:
4^x+1+1=5.2^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação 4^x+1 + 1 = 5 cdot 2^x. Esse é um problema de funções exponenciais, onde temos potências com variáveis nos expoentes. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de potências e, possivelmente, logaritmos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Sabemos que 4 pode ser escrito como 2^2. Então, substituímos:
4^x+1 = (2^2)^x+1 = 2^2(x+1) = 2^2x + 2
Agora, nossa equação fica:
2^2x + 2 + 1 = 5 cdot 2^x

Passo 3

Vamos tentar isolar o termo com 2^x. Subtraímos 5 cdot 2^x de ambos os lados:
2^2x + 2 + 1 - 5 cdot 2^x = 0 implies 2^2x + 2 - 5 cdot 2^x + 1 = 0

Passo 4

Observe que 2^2x pode ser escrito como (2^x)^2. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
y = 2^x
Então, 2^2x = y^2 e nossa equação fica:
2^2x + 2 = 2^2 cdot 2^2x = 4y^2
Substituindo na equação:
4y^2 - 5y + 1 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em y:
4y^2 - 5y + 1 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
y = 5 pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 4 cdot 12 cdot 4 = 5 pm raiz25 - 168 = 5 pm 38
Então, as soluções para y são:
y = 5 + 38 = 1 e y = 5 - 38 = 28 = 14

Passo 6

Lembrando que y = 2^x, substituímos de volta:
  1. Para y = 1:
2^x = 1 implies x = 0
  1. Para y = 14:
2^x = 14 implies 2^x = 2^-2 implies x = -2

Resposta

As soluções da equação são x = 0 e x = -2.

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