Resolver os exercícios 21 e 23 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180. Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(21) y = sec(x), (pi/3, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 21 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a achar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto. Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

A derivada de é . Então, .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o valor da derivada no ponto . Vamos substituir por na derivada:

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  • , então .
  • .
Portanto,
Essa é a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 6

Agora que temos a inclinação e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde é o ponto dado.

Passo 7

Substituindo os valores:
Se preferir, podemos deixar a equação nessa forma ou simplificar:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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