Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios.
Calcular o valor da integral e o erro cometido.
\int_{4}^{4.5} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{4}^{4,5}\frac{1}{x^{2}}\,dx
usando a regra dos trapézios (painel único) e em seguida calcular o erro cometido, ou seja, a diferença entre o valor exato e a aproximação.

Passo 2

A regra dos trapézios com um único subintervalo [a,b] diz que
I_{T} = \frac{b - a}{2}\bigl[f(a) + f(b)\bigr].
Aqui a = 4, b = 4,5 e f(x) = x^{-2}. Logo, b - a = 0,5.

Passo 3

Calculando os pontos:
f(4) = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}, \quad f(4,5) = \frac{1}{(4,5)^{2}} = \frac{1}{20,25}.
Aplicando na fórmula:
I_{T} = \frac{0,5}{2}\Bigl(\tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{20,25}\Bigr) = 0,25\Bigl(0,0625 + 0,0493827\Bigr) \approx 0,0279707.

Passo 4

O valor exato da integral é
\int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x},
portanto
I = \Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{4}^{4,5} = -\frac{1}{4,5} + \frac{1}{4} = 0,25 - 0,2222222 \approx 0,0277778.

Passo 5

O erro cometido é a diferença entre exato e aproximado:
\text{erro} = \bigl|I - I_{T}\bigr| \approx \bigl|0,0277778 - 0,0279707\bigr| \approx 0,0001929.

Resposta

A aproximação pela regra dos trapézios é
I_{T}\approx 0,0279707
e o erro cometido é
\bigl|I - I_{T}\bigr|\approx 0,0001929.

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