Resolver os exercícios 5 e 7 do livro de Cálculo volume 1, 6 adição de James Stewart da seção 2.7, página 136. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(5) y = (x - 1) / (x - 2),
Respostas 5. y = -x + 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função em um ponto específico. Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar a reta tangente em um ponto específico da curva, precisamos saber duas coisas:
  1. As coordenadas desse ponto .
  2. A inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e . Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Então, a derivada da função é:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 5

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto específico na curva. Pelo enunciado, assumimos que já temos a resposta final , o que sugere que o ponto de tangência é . Vamos verificar isso.
Primeiro, encontramos quando :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Agora, calculamos a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a derivada:
Portanto, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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