Resolver os exercícios 5 e 7 do livro de Cálculo volume 1, 6 adição de James Stewart da seção 2.7, página 136. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(5)
,
Respostas 5.
(5)
Respostas 5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta tangente à curva dada pela função
em um ponto específico. Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar a reta tangente em um ponto específico da curva, precisamos saber duas coisas:
- As coordenadas desse ponto
. - A inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função
. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada
é:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Então, a derivada da função é:
Essa derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 5
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto específico na curva. Pelo enunciado, assumimos que já temos a resposta final
, o que sugere que o ponto de tangência é
. Vamos verificar isso.
Primeiro, encontramos
quando
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 6
Agora, calculamos a inclinação da reta tangente nesse ponto usando a derivada:
Portanto, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 7
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.