Resolver os exercícios 5 e 7 do livro de Cálculo volume 1, 6 adição de James Stewart da seção 2.7, página 136. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(7) y = raiz(x),
Respostas 7. y = 1/2 x + 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 7 da seção 2.7 do livro de Cálculo do James Stewart. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Então, para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos:
  1. O coordenada do ponto onde a reta tangente toca a curva.
  2. A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

Vamos supor que o ponto dado seja . Então, para encontrar a coordenada , substituímos na equação da curva:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada da função , que nos dá a taxa de variação de em relação a .
A derivada de é:
Essa derivada representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 5

Vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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